2021年湖北省襄阳四中、五中自主招生数学试卷
2021年湖北省襄阳四中、五中自主招生数学试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。
1．下列式子中变形正确的是（）
A．若3x﹣1＝2x+1，则x＝0B．若ac2＝bc2，则a＝b
C．若，则＝D．若a2＝b2，则a＝bab
2．设点O是△ABC的内心，若∠BAC＝50°，则∠BOC＝（）
A．65°B．100°C．115°D．130°
3．饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（2，1），顶点B是直线y＝x上的动点，顶点C是x轴上的动点，则△ABC周长的最小值为（）
A．3+B．2+C．+1D．
5．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，将△APM的面积y表示为点P经过的路程x的函数，则该函数的图象大致是图中的（）
A．
B．
C．
D．
6．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，分别以AB和AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（）livia韦雪微博
A．25π﹣24B．25π﹣12C．﹣24D．﹣12法国vs丹麦预测
7．给出以下说法，其中正确的个数是（）
①关于x的方程x+＝c+的解是x＝c（c≠0且c≠±1）；
②关于正整数x，y，z的方程组的解有2组；
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③已知关于x，y的方程组当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；
④以方程组的解为坐标的点（x，y）在第二象限．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．已知函数y＝1﹣|x|，当a≤x≤b时（a，b都是整数），y的最大值为1，最小值为0，则满足条件的整数数对（a，b）的个数是（）
A．3B．4C．5D．6
9．设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则方程可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0．容易发现：x1+x2＝﹣，x1x2＝，设一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的三个非零实根分别为x1，x2，x3，则以下正确命题的序号是（）
①x1+x2+x3＝﹣；②x1x2+x2x3+x1x3＝；③；④x1x2x3＝﹣．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
10．定义：[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣3.5]＝﹣4，[2.7]＝2，[3]＝3，若关于x的方程＝a恰好有两个相异实根，则实数a的值可以是（）
A．B．C．1D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．如图，网格纸上小正方形的边长为a，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为12+4，则a的值为．
12．已知当﹣2≤x≤1时函数y＝ax2+2ax+1的最大值为3，则实数a的值为．
13．从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．
14．如图，边长为1cm的等边△ABC在地面上沿顺时针方向滚动（无滑动的情况下），直至接触到地面上一
凸起的半圆形石块时停止滚动，半圆形石块圆心为点P，半径为cm，BP＝5cm，则在此过程中，点A 走过．
15．如图，矩形ABCD周长为24cm，AB＝6cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，则线段DP的长度为cm．
16．化简：＝．三、解答题（本大题共8小题，共70分）
17．（1）已知a2﹣7ab+12b2＝0，ab≠0，求•（a﹣b）的值．
（2）计算：．
18．旅行社为某旅行团包了一家度假酒店，其中旅行社包酒店的费用为11000元．旅行团中的每个人的住宿费按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，每人收费500元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的住宿费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，旅行社的利润为y元．当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？并求出最大利润．
科技公司取名19．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为km，母线长为2km，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线P A的中点处），问：
（1）这条盘山公路的长度为多少km？
（2）若某人在该盘山公路上以上坡速度10km/小时，下坡速度20km/小时骑行，则他从A出发骑车到B 需要多长时间？
20．某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道单项选择题，每题3分，对他所教的初三（1）班、（2）班进行了检测，如图表示从两班各随机抽取的1名学生的得分情况．
（1）利用图中提供的信息，补全表中空白部分的数据，填在答题卡上：
班级平均数中位数众数方差
初三（1）班242424
初三（2）班2419.8
（2）从图中数据来看哪个班的学生纠错的得分更稳定？若把24分以上（含24分）记为“优秀”，两班各40名学生，请估计两班各有多少名学生成绩优秀；
五一怎么晒朋友圈（3）若（1）班的前三名是两名女生一名男生，（2）班的前三名是一名女生两名男生，从这两个班的前三名中各随机选取一人，用列举法求这两名同学性别相同的概
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21．已知E，F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且CD＝4CE，∠EFB＝∠FBC，求tan∠ABF．

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