关于房贷问题的数学建模
小组成员：刘辉，郭孟飞，马少波，王宜阔，刘士懂，郑明旺，路明，王鹏冲
摘要：
随着人们消费观念的改变,越来越多的人通过银行贷款来购置住房。目前银行提供的个人住房贷款方法主要是等额本息还款法和等额本金还款法。随着这两种还款方法在购房中越来越广泛的运用,对不同的购房者来讲究竟哪种还款方法更合适?计算原理比较通常讲,货币时间价值是用来计算
等额本息还贷方式每月按相同金额还贷款本息，月还款中利息逐月递减，本金逐月递增；等额本金还贷方式还款金额递减，月还款中本金保持相同金额，利息逐月递减。二者的主要区别在于，前者每期还款金额相同，即每月本金加利息总额相同，客户还贷压力均衡，但利息负担相对较多；后者又叫‘递减还款法’,每月本金相同,利息不同,前期还款压力大,但以后的还款金额逐渐递减,利息总负担较少。现在知道这两种方式的人们几乎都认为选择等额本金划算,因为选择等额本息多支付了本息,而等额本金则少支付利息,而且认为一旦提前还贷时，会
发现等额本息的 还款，原来自己前期还的钱绝大部分是利息，而不是本金，由此会觉得吃亏很多。
基于货币时间价值理论对住房贷款中两种最常用的还款方法———等额本息还款法和等额本金还款法进行了比较和分析,并结合实际案例从节省利息、可得贷款总额、贷款利率上升时还款以及提前还贷方法的利弊。一、通过对两种还款方式中各还款量,即每月所还本金、利息、本息和,以及利息总还款额和本息总还款额的计算来给出基本模型结构。二、通过对信合银行所使用的特殊等额本息还款法的每月利息及本金还款额与一般还款方式做比较,进而分析提前还款加收利息是否合理。三、,做了简要陈述,应充分了解所借贷银行的还款方式。
本文基于银行的两种主要的还贷方式即等额本息还款法与等额本金还款法进行比较分析，并结合实际案例从还款利息总和、还款本息总和、提前还贷的角度进行论证分析，指出各自的利弊。最后，给出两种贷款方式所适用的贷款人，对贷款者具有一定的指导意义。
关键词：等额本息还款法；等额本金还款法；本金；利息；利率。
一 问题重述
目前银行贷款购置住房有等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法．有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱。所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等额本金还款法（即等本不等息递减还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有无好坏之分；若考虑到当前的利率情况，如提前还贷，应如何做，是否有意义？是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论。
二 问题分析
为比较两种还贷方式的利与弊，就需对两种还贷方式的相关数据进行比较分析，本文从月还款额、各期支付本金、各期支付利息、本息总额等相关数据计算论证，建立借贷的数学关系模型。
三 模型假设
1、模型建立过程中不考虑贷款利率调整。
2、本模型不包括提前还贷的情况。
3、不考虑物价变化及货币贬值等经济波动的影响。
四 符号说明
A | 贷款总额 |
r | 月利率 |
n | 贷款期数（还款月数） |
X | 每月归还本息 |
Y | 还款利息总和 |
W | 还款本息总和 |
b | 每月还款额 |
五 模型建立与求解
（一）等额本息还款法借贷关系模型
定义：贷款的本金和利息之和采用按月等额还款的一种方式，即借款人每月以相等的金额偿还贷款本息，直至期满还清。
计算原理：等额本息还款法月还款的计算采用复利法。等额本息还款法月还款额各期相等，计算过程中要将各期还款额按贷款月利率采用复利法折算成期初的现值，各期还款额现值之和与贷款总额相等。
则各个月所欠银行贷款为：
第一个月A(1+r)-X
第二个月[A(1+r)-X](1+r)-X = A(1+r)^2-X[1+(1+r)]
第三个月{[A(1+r)-X](1+r)-X}(1+r)-X = A(1+r)^3-X[1+(1+r)+(1+r)^2]
…
由此可得第n个月后所欠银行贷款为：
A(1+r)^n-X[1+(1+r)+(1+r)^2+…+(1+r)^(n-1)] = A(1+r)^n-X[(1+r)^n-1]/r
由于还款总期数为n，也即第n月刚好还完银行所有贷款，因此有：
A(1+r)^n-X[(1+r)^n-1]/r = 0
由此求得：
X = A*r(1+r)^n/[(1+r)^n-1]
注明：此公式出现的等比数列中，(1+r)可以看作是q，n是(1+r)的乘方数，但是如果引用等比数列求和公式W=a1(1-q^n)/(1-q) [这里可以引为W=a1(q^n-1)/(q-1) ]，那么，n就应该是这个数列的自然数，故与还款月数n持平，所以，(1+r)^n-1中的数字1不能纳入乘方里了，在此注明，以免误解。
从上述计算过程可以看出，等额本息还款法以“复利”方式计息的，也即所谓的“利滚利”，且银行在每月的还款额中先收取利息，后收取本金。
等额本息还款法的特点是在整个还款期内，每个月的还款额保持不变，优点在于借款人可以准确掌握每月的还款数额，容易记忆。适用于在整个贷款期内家庭收入有稳定来源的贷户，也可避免初期太大的供款压力。
（二）等额本金还款法借贷关系模型
定义：借款人将贷款额平均分摊到整个还款期内每月归还，同时付清上一月交易日至本次还款日间的贷款利息。
计算原理：等额本金还款法月还款额的计算采用单利法。等额本金还款法每月归还本金数目相等，同时根据期初贷款余额计算出本月应还利息，然后将两者相加得到月还款额。
当月本金还款额=贷款本金÷贷款期数
当月利息=上月剩余本金×月利率
=（贷款本金-已还期数×每月还款本金）×月利率
每月应还款数额=贷款本金／贷款期数+（贷款本金-已还期数×每月还款本金）×月利率
每月还款金额如下：
第一个月：A／n + A*r
第二个月：A／n + (A- A／n) *r
第三个月：A／n + (A- 2A／n) *r
……
第n个月：A／n + (A- (n-1)A／n) *r
还款利息总和Y=所有利息之和= A*r + (A- A／n) *r + (A- 2A／n) *r + …… + (A- 2A／n) *r=（n+1）／2*A*r
还款本息总和W=Y + A
等额本金还款法的优点在于不会产生所谓的复利，因为每个月本金所产生的利息均在下个月的还款日内全部偿还。但由于一开始本金比较大，使得每月的利息也比较高，因此在还贷初期每月需要偿还的数额比较大，但到后期随着本金的减少，每期利息也随之减少，还款金额也将逐渐减少。适合于现在收入处于高峰期的人士，虽然他们已经有一定的积蓄，但是预期以后收入会减少或是家庭经济负担会加重的借款人。如中老年职工家庭，其现有一定的积蓄，但今后随着退休临近收入将递减。
两种还款方式那种更合算呢？
对比的基础不同，对比本身就没有什么实际意义。不同的还款方式，只是为满足不同收入、不同年龄、不同消费观念人们的不同需要或消费偏好而设定。关键是要考虑自己的经济状况,与自己的收入趋势相匹配，尽量使收入与供款相一致。
六 模型检验
案例：某贷款者准备从银行贷款30万元，贷款期限20年，贷款月利率0.42﹪。对此案例分别按照等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式进行预算。
预算结果如下：（单位：元）
| 聊天记录怎么删除 | 等额本息还款法 | 等额本金还款法 | ||||||
期数 | 剩余本金 | 月还款 | 本金 | 财务会计实习报告 利息 | 剩余本金 | 月还款 | 本金 | 利息 |
1期 | 200,000 | 1325 | 485 | 840 | 200,000 | 1673 | 833 | 840 |
2期 | 199,515 | 1325 | 487 | 838 | 199,167 | 1670 | 833 | 837 |
3期 | 199,028 | 1325 | 489 | 836 | 198,334 | 1666 | 桥架规格833 | 833 |
4期 | 198,539 | 1325 | 491 | 834 | 197,501 | 1663 | 833 | 830 |
… | ||||||||
30期 | 185,076 | 1325 | 548 | 777 | 175,843 | 1571 | 833 | 738 |
31期 | 184,528 | 1325 | 550 | 775 | 175,010 | 1568 | 833 | 735 |
… | ||||||||
239期 | 2361 | 1325 | 四级分数换算1315 | 9.9 | 1,746 | 840 | 833 | 7 |
240期 | 1046 | 1046 | 1042 | 4.39 | 913 | 913 | 833+76 | 4 |
按等额本息还款方式计算：
还款利息总和Y = n*X － A =118,000元
小学一年级语文期中试卷还款本息总和W = n*X=318,000元
按等额本金还款方式计算：
还款利息总和Y = （n+1）／2*A*r = 105,000元
还款本息总和W = Y + A = 303,000元
由结果可以看出，贷款20万元，期限20年，在利率保持不变的条件下，等额本息还款法共需支出本息318,000元，等额本息还款法本息为303,000元。整个还贷期等额本息还款法较等额本金还款法多支付利息15,000元。所以，在贷款金额相同，贷款期限相同情形下，等额本息还款因为在还贷初期占用银行资金较多，所以要多支付利息。
七 提前还贷问题
定义：所谓提前还贷是指借款人在保证按月按额偿还个人住房贷款本息的基础上，提前偿还部分或全部购房借款的一种经济行为。它包括两种形式：一种是提前偿还部分个人住房贷款；另一种是提前偿还全部个人住房贷款。
在贷款金额相同，贷款期限相同情形下，等额本息还款因为在还贷初期占用银行资金较多，所以要多支付利息。无论是到期还款还是提前还款，等额本金还款法都比等额本息还款法节省很大一部分利息支出。针对提前还款，贷款前最好选择等额本金还款法。
快速理赔借款人提前还贷一般需提前10天或15天告知贷款机构，并须持原借款合同、银行还贷储蓄卡、每月还资本金利息表、本人身份证等资料向贷款机构提出书面申请，并须经其审核同意。借款人在当月仍需要偿还原定的月贷款本息还款额，同时再将需要提前偿还的贷款金额存人银行储蓄卡内。贷款机构经确认后，对属于是提前偿还部分住房贷款的，则将再按原借款合同中确定的计息还贷方式以“先息后本，每月等额减少，缩短还款期限”的计算原理，重新计算提前偿还部分贷款后的借款余额和最终偿还期限，重新打印“每月还资本金利息表”，重新与借款人签订“借款变更合同”。
提前还款的贷款，应根据合同约定的利率和实际借用贷款的天数，按日计息（即按贷款实
际使用天数计息），并按利息、本金的顺序结算。无论是到期还款还是提前还款，银行都没有做吃亏的买卖，客户也不存在节省利息支出的实惠。所以，提前还贷不是节省利息的选择，其实际意义不大。
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