安徽大学2020-2021学年第一学期软件工程专业
近世代数试题
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。
A.2 B.5
C.7 D.10
佩恩六道怎么死的2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射 ：x→x＋2，x∈R，
则是从A到B的（ ）
A.满射而非单射 B.单射而非满射
C.一一映射 我国消防宣传活动日是每年的D.既非单射也非满射
3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）
A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23)
C.(1)，(123) D.S3中的所有元素
4.设Z雷狼15是以15为模的剩余类加，那么，Z15的子共有（ ）个。
A.2 B.4
C.6 D.8锡伯族服饰
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ ）
A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m， n∈Z， mn＝0
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m， n∈Z， mn＝1
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。
7.设(G，·)是一个，那么，对于a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝___________。
8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G是一个含有15个元素的，那么，根据Lagrange定理知，对于a∈G，则元素a的阶只可能是___________。
10.在3次对称S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子，则商G/H中的元素(12)H＝___________。
11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中
的所有零因子是___________。
12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。
13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝________________________。
14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是______________________。
15.有理数域Q上的代数元+在Q上的极小多项式是___________。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16.设Z为整数加，Zm为以m为模的剩余类加，是Z到Zm的一个映射，其中 这一生有你就足够 ：k→［k］，k∈Z，
验证：是Z到Zm的一个同态满射，并求的同态核Ker。
17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。
四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）
a | b | c | |
a | 锦心似玉剧情介绍电视猫 a | b | c |
b | b | c | a |
c | c | a | b |
19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“”
由右边的运算表给出，证明：(G，)
作成一个。
20.设 已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。
21.设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环，证明：R是一个交换环。
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