2021-2022高考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
立春是几时几分2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）
A ．()2112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭
上海的酒店B ．(2)0()f f t ->>
C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +> 2．已知复数552i z i i =
+-，则||z =（ ）
销售技巧和话术A B ．C ．D ．3．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ）
A ．32i -+
B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -
4．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．24
D ．5．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．若2n x
⎛ ⎝
的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4
7．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）
A ．74
B ．5627
C ．2
D ．16481
8．2(1i i
+=- ) A ．132i + B ．32i + C ．32i - D ．132
i -+ 9．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( )
A ．3
B ．1
3- C ．12- D ．1-
10．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A ．6.25%
B ．7.5%
C ．10.25%
D ．31.25%
11．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞
0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为尼斯圆．现有椭圆22
22x y a b
+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足
MA MB =2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，
则椭圆的离心率为（ ）
A ．23
B ．33
C ．22
D ．32
12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：
①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为
4π.正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3香菇炒肉
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”，q 为“实”．即若ABC 的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则
2222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦.已知点D 是ABC 边AB 上一点，3AC =，2BC =，45︒∠=ACD ，815tan 7
BCD +∠=，则ABC 的面积为________． 14．若函数()()()(
)()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()5f -=__________；()()5f f -=__________. 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222
(2)(0)x y r r -+=>上有且仅有一对点,M N ，使得MAB ∆的面积是NAB ∆的面积的2倍，则r 的值为_______.
16．若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，
11160ACC CC B ∠=∠=︒，2AC =．
（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；
（Ⅱ）若1AB =1CAB 与平面11A AB 所成的锐二面角的余弦值．
18．（12分）已知抛物线2
:2(0)W y px p =>上一点(,2)C t 到焦点F 的距离为2， （1）求t 的值与抛物线W 的方程；
（2）抛物线上第一象限内的动点A 在点C 右侧，抛物线上第四象限内的动点B ，满足OA BF ⊥，求直线AB 的斜率范围.
19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l
的参数方程为222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N
两点．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若点P 的极坐标为(2,)π
，||||PM PN +=a 的值．
20．（12分）已知函数()()()f x x a lnx a -∈R ＝，它的导函数为()f x '．
（1）当1a ＝时，求()f x '的零点；
（2）当0a ＝时，证明：()1x
f x e cosx +-＜． 21．（12分）某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A B ，两种，且这两种的个
体数量大致相等，记A 种蜻蜓和B 种蜻蜓的翼长（单位：mm ）分别为随机变量X Y ，，其中X 服从正态分布()45,25N ，
Y 服从正态分布()55,25N .
（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间[]45,55的概率；
（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z ，若用正态分布()
200,N μσ来近似描述Z 的分布，请你根据（Ⅰ）中的结果，求参数0μ和0σ的值（精确到0.1）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间[]42.2,57.8的个数为W ，求W 的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.
注：若()2~,X N μσ，则0.640.640.473(7)P X μσμσ-≤≤+≈，0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，
2205().946P X μμμσ-≤≤+≈.
22．（10分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1(sin 2cos sin )sin 22c A B C b C -=
． （1）求角A 的大小；
（2）若,24C c π
==，求ABC 的面积．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D
世界十大丑建筑【解析】
根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．
【详解】
由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=
∴函数()f x 关于直线1x =-对称；
()f x 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<；时使得(0)()0f f t <；
又(2)(0)f f -=
()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；
223112()0224t t t ++-=++>，21t t ∴++比12
离对称轴远， ∴可得21(1)()2
f t t f ++>，∴选项A 成立； 22(3)(2)250t t t +-+=+>，|3||2|t t ∴
+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；
20t -<<，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴
+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
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