从开普勒的三大定律到牛顿的万有引力定律及其应用
机15 010645 谢贤仕
学习理论力学，不是为了学术而学术，就好像赚着了钱一定要把它花出去一样，才能保持生产与消费的平衡，才能享受创造与享受的快乐，才真正有利于社会的发展，才真正有利于个人的健康，至少是精神上的健康。所以本文着重写的是力学在天文学上的应用，是在人类文明发展史上有过极其重要的作用，甚至现在，也是天文学上认识宇宙，发现规律的基本出发点。 -----前记
开普勒的三大定律
德国天文学家开普勒在哥白尼地动学说的影响下，在前人收集的大量关于行星运动的资料的基础上，经过仔细分析、整理和推算，总结出行星运动的三条运动学规律，即开普勒三定律。
第一定律(轨道定律)：一切行星都沿各自的椭圆轨道运行，太阳在该椭圆的一个焦点上。
第二定律(面积定律)：对任何一个行星，它和太阳连线在相等的时间内总是扫过相等的面积。
第三定律(周期定律)：每个行星的椭圆轨道是半长轴的立方跟公转周期行的椭圆轨道与圆轨道相近，当把行星轨道近似当做圆时，公式中的a即为圆半径。
开普勒确立的三定律为牛顿创立他的天体动力学理论奠定的实验基础，同时，开普勒也是最早用数学公式表达物理规律并获得成功的人之一，从他所在的时代开始，数学方程就成为表达物理规律的基本方式。
万有引力定律的推导
地球及其它行星的公转轨道近似于圆，行星的运动可看成以太阳为中心的匀速圆周运动。设想行星做圆周运动的向心力就是太阳对行星的吸引力，若行星质量为m，公转周期为T，轨道半径为r，由牛顿第二定律可得
此式说明太阳对行星的引力与它们间的距离平方成反比，与该行星的质量成正比，式中的μ，各个行星都相等，它是一个与行星无关，只与太阳性质有关的常量。
进一步研究发现，卫星绕行星的运动也遵从同样的规律，这时，(3)式中的m为卫星的质量，r是卫星的轨道半径，μ粗壮的反义词则是仅由该行星决定的常量。这说明，太阳对行星(如地球)的作用力与行星对卫星(如地球对月球)的作用力属同一性质的力。
牛顿设想地球作用于地面上物体的重力也是这一性质的力。他巧妙地把地面上的重力推广到月球轨道上。月球绕地球的运动可以似看成匀速圆周运动，设月球运转周期为T月，月地距离为R，则月球的向心加速度为
若重力也遵从平方反比规律，则月球轨道处的重力加速度g月与地面重力加速度g的比值为
牛顿时代人们已测知R月≈60R。地球半径R0≈6370公里，T≈2.36×106秒。将这些数据代入(4)、(5)两式，可得
a月≈g月≈2.7×10-3m/s2
这说明，地球对地面物体及月球的作用力均遵从平方反比规律，牛顿设想，地球对太阳的作用力也应如此，即
式中，M为太阳质量，μ'是仅由地球决定的常量。比较(3)、(6)两式，并运用牛顿第三定律，可知
(8)你好八月式说明该比值是一个与地球及太阳质量均无关的常量，设该比值为G，则有μ=GM。将μ=GM代入(3)式，可得
新婚快乐的祝福语短句由于太阳对行星、行星对卫星、地球对地面物体的作用力都遵从(9)式所表达的规律，牛顿将它做了合理推广，即任何两个物体间都存在相互作用的吸引力，力的方向沿两物体的联线方向，力的大小与两物体质量的乘积成正比，与两物体之间的距离的平方成反比，其数学表达式仍如(9)式所示。
天体密度的测定
应用万有引力定律测出某天体质量又能测知该天体的半径或直径，就可求出该天体的密度，即
地球物理学专业
例如某登月密封舱在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球运行，运行周期为120.5分钟，月球半径为1740km，应用万有引力公式算出月球质量为
月球平均密度为
如果不易测知天体半径，也可用人造飞行器沿该天体的表面匀速率绕密度为
天体质量的测定
地球及其它天体的质量很大，牛顿发现的万有引力定律为计算天体质量提供了可能性。
假定某天体的质量为M，有一质量为m的行星(或卫星)绕该天体做圆周运动，圆周半径为r，运行周期为T，由于万有引力就是该星体做圆周运动的向心力，故有
例如：测知月球到地球平均距离为r=3.84×108m，月球绕地球转动周期T=27.3日=2.36×106秒，万有引力常量G=6.67×10-11牛·米2／kg2，将数据代入上式可求得地球质量约为5.98×1024kg。
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