Excel回归结果的解读
Excel回归结果的解读
利用Excel的数据分析进行回归，可以得到一系列的统计参量。下面以连续10年积雪深度和灌溉面积序列（图1）为例给予详细的说明。
图1 连续10年的最大积雪深度与灌溉面积（1971－1980）回归结果摘要（Summary Output）如下（图2）：
图2 利用数据分析工具得到的回归结果
第一部分：回归统计表
打印机无法连接
这一部分给出了相关系数、测定系数、校正测定系数、标准误差和样本数目如下（表1）：
表1 回归统计表
逐行说明如下：
Multiple 对应的数据是相关系数(correlation coefficient)，即R=。
R Square 对应的数值为测定系数(determination coefficient)，或称拟合优度(goodness of fit)，它是相关系数的平方，即有R 2==。
Adjusted 对应的是校正测定系数(adjusted determination coefficient)，计算公式为
1
)1)(1(12-----=m n R n R a  式中n 为样本数，m 为变量数，R 2为测定系数。对于本例，n =10，m =1，R 2=，代入上式得
976312.01
讲话技巧110)978944.01)(110(1=-----=a R  标准误差（standard error ）对应的即所谓标准误差，计算公式为 SSe 11--=
m n s  这里SSe 为剩余平方和，可以从下面的方差分析表中读出，即有SSe=，代入上式可得
418924.110676.16*1
1101=--=s  最后一行的观测值对应的是样本数目，即有n =10。
第二部分，方差分析表
方差分析部分包括自由度、误差平方和、均方差、F 值、P 值等（表2）。
表2 方差分析表（ANOVA ）
逐列、分行说明如下：
第一列df 对应的是自由度（degree of freedom ），第一行是回归自由度dfr ，等于变量数目，即dfr=m ；第二行为残差自由度dfe ，等于样本数目减去变量数目再减1，即有dfe=n -m -1；第三行为总自由度dft ，等于样本数目减1，即有dft=n -1。对于本例，m =1，n =10，因此，dfr=1，dfe=n -m -1=8，dft=n -1=9。
第二列SS 对应的是误差平方和，或称变差。第一行为回归平方和或称回归变差SSr ，
即有
8542.748)ˆ(SSr 12=-=∑=n
i i i y y
BY2恋情
它表征的是因变量的预测值对其平均值的总偏差。
第二行为剩余平方和（也称残差平方和）或称剩余变差SSe ，即有
10676.16)ˆ(SSe 12=-=∑=n
i i i y
y  它表征的是因变量对其预测值的总偏差，这个数值越大，意味着拟合的效果越差。上述的y 的标准误差即由SSe 给出。
第三行为总平方和或称总变差SSt ，即有
961.764)(SSr 12=-=∑=n
i i i y y
它表示的是因变量对其平均值的总偏差。容易验证+=，即有
SSt SSe SSr =+
而测定系数就是回归平方和在总平方和中所占的比重，即有
978944.0961
.7648542.748SSt SSr 2===R  显然这个数值越大，拟合的效果也就越好。
第四列MS 对应的是均方差，它是误差平方和除以相应的自由度得到的商。第一行为回归均方差MSr ，即有
8542.7481
8542.748dfr SSr MSr ===
第二行为剩余均方差MSe ，即有 013345.2810676.16dfe SSe MSe ===
显然这个数值越小，拟合的效果也就越好。
第四列对应的是F 值，用于线性关系的判定。对于一元线性回归，F 值的计算公式为
2222
1dfe )1(11R
R R m n R F -=---= 式中R 2=，dfe=10-1-1=8，因此
9453.371978944
.01978944.0*8=-=F  第五列Significance F 对应的是在显著性水平下的F α临界值，其实等于P 值，即弃真概率。所谓“弃真概率”即模型为假的概率，显然1-P 便是模型为真的概率。可见，P 值越小越好。对于本例，P =<，故置信度达到%以上。
第三部分，回归参数表
回归参数表包括回归模型的截距、斜率及其有关的检验参数（表3）。
表3 回归参数表
第一列Coefficients 对应的模型的回归系数，包括截距a =和斜率b =，由此可以建立回归模型
i i x y
QQ备注名称设计8129.13564.2ˆ+= 或
i i i x y ε++=8129.13564.2
第二列为回归系数的标准误差（用a s ˆ或b s ˆ表示），误差值越小，表明参数的精确度越高。
这个参数较少使用，只是在一些特别的场合出现。例如L. Benguigui 等人在When and where is a city fractal ?一文中将斜率对应的标准误差值作为分形演化的标准，建议采用作为分维判定的统计指标（参见EPB2000）。
不常使用标准误差的原因在于：其统计信息已经包含在后述的t 检验中。
第三列t Stat 对应的是统计量t 值，用于对模型参数的检验，需要查表才能决定。t 值是回归系数与其标准误差的比值，即有
a a s
国际汉语教师资格证考试a t ˆ=
，b b s b t ˆ= 根据表3中的数据容易算出： 289167.1827876.1356438.2==a t ，28588.19094002
.0812921.1==b t  对于一元线性回归，t 值可用相关系数或测定系数计算，公式如下
112---=m n R
R
t
将R=、n =10、m =1代入上式得到
28588.191110989416
.01989416
.02=---=t
对于一元线性回归，F 值与t 值都与相关系数R 等价，因此，相关系数检验就已包含了这部分信息。但是，对于多元线性回归，t 检验就不可缺省了。
益阳美食第四列P value 对应的是参数的P 值（双侧）。当P<；时，可以认为模型在α=的水平上显著，或者置信度达到95%；当P <；时，可以认为模型在α=的水平上显著，或者置信度达到99%；当P <；时，可以认为模型在α=的水平上显著，或者置信度达到%。对于本例，P=<，故可认为在α=的水平上显著，或者置信度达到%。P 值检验与t 值检验是等价的，但P 值不用查表，显然要方便得多。
最后几列给出的回归系数以95%为置信区间的上限和下限。可以看出，在α=的显著水平上，截距的变化上限和下限为和，即有
57153.685865.1≤≤-a
斜率的变化极限则为和，即有
02969.259615.1≤≤b
第四部分，残差输出结果
这一部分为选择输出内容，如果在“回归”分析选项框中没有选中有关内容，则输出结果不会给出这部分结果。
残差输出中包括观测值序号（第一列，用i 表示），因变量的预测值（第二列，用i y
ˆ表示），残差（residuals ，第三列，用e i 表示）以及标准残差（表4）。
表4 残差输出结果
预测值是用回归模型
i i x y
8129.13564.2ˆ+= 计算的结果，式中x i 即原始数据的中的自变量。从图1可见，x 1=，代入上式，得
118129.13564.2ˆx y
+=91284.292.15*8129.13564.2=+= 其余依此类推。
残差e i 的计算公式为
i i i y
y e ˆ-= 从图1可见，y 1=，代入上式，得到
31284.191284.296.28ˆ111-=-=-=y
y e  其余依此类推。
标准残差即残差的数据标准化结果，借助均值命令average 和标准差命令stdev 容易验证，残差的算
术平均值为0，标准差为。利用求平均值命令standardize(残差的单元格范围，均值，标准差)立即算出表4中的结果。当然，也可以利用数据标准化公式
)var(*i i i z z
z z -=i i z
z σ-=
逐一计算。将残差平方再求和，便得到残差平方和即剩余平方和，即有

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