排列组合中的分组分配问题
排列组合中的分组分配问题
在排列组合教学中，分组分配问题是一个重要且难以理解的概念。有些排列组合问题看起来不是分配问题，但实际上可以用分配问题的方法来解决。
一、区分分组与分配问题
将n个不同的元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分为定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有不平均分组、平均分组和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同就不区分；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题
例如，六本不同的书分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
星舰残骸1.每组两本。
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分组与顺序无关，是组合问题。分组数是C6^2C4^2=90种，但这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A3^3，所以分法是C6^2C4^2/A3^3=15种。
2.一组一本，一组二本，一组三本。
先分组，方法是C6^1C5^3，不需要除以A3，因为每组的书的本数不一样，不会出现相同的分法，即共有60种分法。
3.一组四本，另外两组各一本。
分组方法是C6^4C2^1C1^1=30种，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，C6^2C1^1不可能重复。所以实际分法是15种。
通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。
steam怎么安装结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是m1n/m2(n-m1)Cm3(n-m1-m2)…Cmp(m-k+1)。
三、基本的分配问题
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一) 定向分配问题
假设有六本不同的书需要分给甲、乙、丙三人，其中甲、乙、丙每人需要分到两本书。我们需要求出在这些条件下有多少种不同的分配方法。
这是一个定向分配问题，因为每个人需要分到的书的数量已经确定。我们可以使用分布计数原理来解决这个问题。根据计数原理，我们可以得到以下结果：
1) 甲两本、乙两本、丙两本：C6,2 × C4,2 × C2,2 = 90 种不同的分配方法。
2) 甲一本、乙两本、丙三本：C6,1 × C5,2 × C3,3 = 60 种不同的分配方法。
3) 甲四本、乙一本、丙一本：C6,4 × C2,1 × C1,1 = 30 种不同的分配方法。
二) 不定向分配问题
假设有六本不同的书需要分给甲、乙、丙三人，其中每个人需要分到两本书。我们需要求出在这些条件下有多少种不同的分配方法。
这是一个不定向分配问题，因为同一本书可以分给不同的人。因此，这是一个排列问题。我们可以将问题看作“将六本书分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，然后使用分组方案数乘以三个人的全排列数来解决这个问题。根据这个方法，我们可以得到以下结果：
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玉碎瓦全登西楼1) 每人两本：C6,2 × C4,2 × C2,2 × A3,3 = 90 种不同的分配方法。
2) 一人一本、一人两本、一人三本：C6,1 × C5,2 × C3,3 × A3,3 = 360 种不同的分配方法。
3) 一人四本、一人一本、一人一本：C6,4 × C2,1 × C1,1 × A3,3 = 90 种不同的分配方法。
结论2：一般地，如果需要将不同的元素分配给几个不同的对象，并且每个对象可以接受任意数量的元素，那么这实际上是一个先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
例4：六本不同的书需要分给甲、乙、丙三人，每个人至少需要分到一本书。我们需要求出有多少种不同的分配方法。
这个问题既需要分组又需要排列。首先，我们需要将六本书分为三组，然后再将这三组分给三个人。根据加法原理，我们可以得到三个分组方案：

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