河南科技大学
2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准
科目代码：636
科目名称：数学分析
一、（20分）解答以下三个小题：
（1）用分析定义证明：如果lim 0n n x →∞
=，则12lim
0n
n x x x n
→∞
+++= .（13分）
（2）如果12lim
0n
n x x x n
→∞
+++= ，是否一定有lim 0n n x →∞=？为什么？（3分）
（3）计算极限111
123lim
n n n
→∞++++ .（4分）证：（1）∵lim 0n n x →∞
=，∴0,N N ε+
∀>∃∈，n N ∀>：2
专利法实施细则
n x ε<
.
……2分
利用三角不等式，得
12121
2n N N N n
x x x x x x x x x n n n
+++++++++++≤+ ……5分而12lim
0N
n x x x n
→∞
+++= （∵12N x x x c +++= 常数）
……7分
对上述的0ε>，1N N +
∃∈，1n N >：
122
N
x x x n ε+++< .
……9分
1222
N N n
x x x n N n n εε+++++-<⋅< .
…
…11分
取{}1max ,N N N '=，则0,N N ε+
'∀>∃∈，当n N '>时，有
12n
x x x n
+++ 22εεε<+=.∴12lim
0n
n x x x n
→∞
+++= .
……13分（2）不一定.……1分
反例：数列1
(1)n n x -=-，n ∈N .有12lim
0n
n x x x n
→∞
+++= ，但数列{}n x 发散.……3分
（3）∵1lim
0n n
→∞
=……2分
∴111123lim
0n n n
→∞++++= ……4分
二、（12分）如果函数()f x 在[0,)+∞上可导，且()1f x '<-，(0)1f =，试证：在区间(0,1)内存在唯一的ξ，使得()0f ξ=.
证：由已知，()f x 在[]0,1上可导.在[]0,1上应用Lagrange 中值定理，得
()11(0)()(0)f f f f ξ'-=⋅，1(0,1)ξ∈，
……5分()11(0)()(0)(0)(0)0f f f f f f ξ'=+<-=，
……7分由零点存在定理，存在(0,1)ξ∈，使()0f ξ=.
……9分
再证零点唯一，只要证函数()f x 在[0,)+∞上单调，而由()10f x '<-<，即知()f x 在
[0,)+∞上严格单调减少，从而上述ξ是唯一的.……12分
三、（12分）求函数20
()sin ,0
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩ ，的不定积分.
解：0x <；时，32
13
x x dx C =+⎰……3分0x >时，2
sin cos xdx x C =-+⎰……6分得出121C C C
=-+=……8分
()f x dx ⎰
3
,03
cos 1,0
x C x x C x ⎧+≤⎪
=⎨⎪-++>⎩……12分
四、（10分）计算()
2
2
02
20
lim
xqq邮箱打不开
u x u x e du
e
du
→+∞
⎰
⎰.
解：()
2
2
02
20
lim
x
u x u x e du
e
du
→+∞
⎰⎰2
2
02
22lim
x
x u x x e e du
e
→+∞
⎰=……4分
2
022lim
x
u x x e du e →+∞
⎰=……5分
22
2lim
2x x x e
xe
→+∞
=……9分
1lim 0x x
→+∞==……10分
五、（12分）01
国庆多少周年()212x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，设函数，
，试求
（1）20()(12)n x n a f x e dx n -=
=⎰
，，；
（8分）（2）2
lim n n n a →∞
.（4分）解：（1）()12
1
2n x n x n a xe dx x e dx --=
+-⎰⎰
……3分
()2
21n e n
--=
……8分
（2）(
)
2
2
lim lim 11
n
n n n n a e
-→∞
→∞
=-=……4分
六、（10分）证明积分
2
1xy e dx x -+∞+⎰
关于[)0,y ∈+∞一致收敛.
证：∵22111xy e x x
-≤++，00x y ≤<+∞≤<+∞
………4分
而
2
1arctan 21dx x x π+∞+∞==+⎰
收敛，
………8分由Weierstrass 判别法，知积分对[)0,y ∈+∞一致收敛.………10分
七、（21分）判断下列三个小题中级数的敛散性.（每小题7分）
(1)
1
,(0)n
n n αββ
∞
=>∑；(2)
11
1
(1)n n n n n ∞
-+=+∑
文件夹怎么设置密码；(3)
111
1
n
n n
∞
+=∑
.
解:(1)由1
1lim
n n n a a β
+→∞
=………3分
知1β>收敛；1β<；发散；
………5分
1β=时1
1
1,1n n n n
α
α
α∞∞
-===<∑∑收敛，1α≥发散.………7分
（2）由1
1
2(1)1lim 1n n n n n e n
-+→∞+=，
（或210n u n
<≤）………4分
而
21
1n n ∞
=∑
收敛，知11
1(1)
n n n n n ∞
-
+=+∑收敛.………7分
（3）由1
11
lim 11n
n n
n
+→∞
女神节霸气文案=,
………4分
1
1n n ∞
=∑
发散，知
1
11
1
n
n n
∞
+=∑发散.………7分
八、（25分）设函数()()()()()()2222
1sin ,,0,0,0,
,
0,0x y x y f x y x y
x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩（1）计算函数(),f x y 的偏导数；（10分）
（2）问函数()(),00f x y 在，点是否连续？是否可微？为什么？（8分）（3）问偏导函数在()0,0点是否连续？为什么？（7分）解:(1)()()()
()
20
00,00,010,0lim
lim sin 0x x x f x f f x x x ∆→∆→+∆-'==∆=∆∆……3分
(),x f x y '=()()()()222222
112sin cos ,,0,00,,0,0x x x y x y x y x y
x y ⎧-≠⎪+++⎨⎪=⎩……8分
对称地，(),y f x y '=()()()()222222
112sin cos ,,0,00,重阳节敬老人的诗句
,0,0y y x y x y x y x y
x y ⎧-≠⎪+++⎨⎪=⎩……10分
(2)(),f x y 在()00，点可微，从而在()00，点也连续
……3分
因为()()()0,00,0,f f x y f f x y ∆=+∆+∆-=∆∆，()0,00x f '=，()0,00y f '=.
()()
22
x y ρ=
∆+∆，
()
()()()()22
22
,111sin sin
f x y x y x y ρρ
ρρ∆∆⎡⎤=∆+∆=⎣
⎦∆+∆.
所以()
,1lim
lim sin 0f x y ρρρρ
ρ
→→∆∆==，
…
…7分
即()()0
0,00,0lim
0x y f f x f y ρρ
→''∆-∆+∆⎡⎤⎣⎦=.()()()()
0,00,0,0x y f f x f y ορρ''∆=∆+∆+→∴()(),00f x y 在，点可微.……8分（3）偏导函数在()0,0点不连续.
……2分
因为极限()22222200
0011lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y →→→→⎡⎤'=-⎢⎥+++⎣
⎦不存在：由()00111lim ,lim 2sin
cos 222x x x f x x x x x →+
→+⎡
⎤'=-⎢⎥⎣⎦
不存在，即知
（或由沿直线0,0y x =→+时极限不存在，即知）
所以(),x f x y '在()0,0在点不连续.……6分同理，()(),0,0y f x y '在点也不连续.……7分
九、（12分）计算曲线积分224L xdy ydx x y -+⎰ ，其中L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的圆周（
1R ≠）
，取逆时针方向.解：2222
,44y x P Q x y x y
-==++，则222224(4)y x Q P y x x y -∂∂==∂∂+，(,)(0,0)x y ≠在不含原点的区域上积分22L xdy ydx
I x y -=
+⎰与路径无关.
……2分
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。
发表评论