【数学基础】矩阵的特征向量、特征值及其含义
【数学基础】矩阵的特征向量、特征值及其含义
在线代课上，⽼师会教我们怎么求矩阵的特征值与特征向量。但是并不会讲特征值与特征向量到底有着什么样的⼏何意义或者物理意义，或许讲了但也⽐较模糊。矩阵的特征值与特征向量在各种机器学习算法与应⽤场景中都有出现，每次出现都有着其独特的意义。在这⾥也只是简述⼀⼆。
开学第一天忘记教室在哪⼀、⽅阵的特征值与特征向量
1、特征值与特征向量的定义：
定义1：设是阶⽅阵，若数和维⾮零列向量，使得成⽴，则称是⽅阵的⼀个特征值，为⽅阵的对应于特征值的⼀个特征向量。
注：
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1. 是⽅阵。（对于⾮⽅阵，是没有特征值的，但会有条件数。）
2. 特征向量为⾮零列向量。
我们先记线性变换⼀个T（Transformation）为，容易知道矩阵代表⼀个线性变换，可以做升维降维，放
⼤缩⼩以及旋转的线性变换，⽽对于⽅阵⽽⾔，是不存在升维降维的。即⼀个⽅阵其对向量的线性变换为伸长收缩或者旋转。
在为基向量的空间下有个向量:
对随便左乘⼀个矩阵，即对进⾏⼀个线性变换。
调整下的⽅向，使其特殊⼀点。
可以观察到，调整后的和在同⼀直线上，只是的长度相对的长度变长了。
此时，我们就称是的特征向量，⽽的长度是的长度的倍，就是特征值。即
从特征向量和特征值的定义中还可以看出，特征向量所在直线上的向量都是特征向量。
3、特征值与特征向量的⼀些性质
1）、如果是⼀个不可逆⽅阵，即，则齐次线性⽅程组有⽆穷多解，故有⾮零解，即，故不可逆⽅阵必有零特征值。
2）、⼀些实际问题中，常常会涉及到⼀系列的运算，，由特征值和特征向量的关系可以简化这些运算，。
3）、矩阵的迹trace，即为矩阵的对⾓元素之和。例记，则。
的特征值为；的特征值为；的特征值为，侧⾯也说明了⾮满秩矩阵不可逆。
若，则
是对应的特征值。
在复数域中，任意的⽅阵都存在对应的特征值与特征向量。在实数域中则不⼀定。
4）、特征向量的性质
矩阵关于特征值的个特征向量的任意⾮零线性组合还是的关于的特征向量。
设是矩阵的不同特征值所对应的特征向量，则是线性⽆关的。
阶⽅阵⾄多有个线性⽆关的特征向量。
矩阵与的特征值相同，但特征向量却未必⼀样。
设为阶⽅阵的⼀个重特征值，关于的线性⽆关的特征向量的最⼤个数为，则。
⼆、特征值与特征向量的计算
1. 求出⽅阵的特征多项式。
2. 解特征⽅程，求出的全部特征值。其
中的重根对应的个值相同的特征值。
3. 求或的⾮零解，得到的关于的全部特征向量。
无限时空号例1：求矩阵的特征值和全部特征向量。
第⼀步：写出矩阵的特征⽅程，求出特征值。
三阶⽅阵的⾏列式计算：
第⼆步：对每个特征值代⼊齐次线性⽅程组，求⾮零解。
当时，齐次线性⽅程组为
系数矩阵
⾃由未知量：
令  得基础解系：
所以是对应于的全部特征向量。
当时，齐次线性⽅程组为
系数矩阵
我的母亲阅读答案，得基础解系
所以是对应于的全部特征向量。
三、特征值与特征向量的含义
上⾯⼀⼆两⼤点旨在回忆特征值与特征向量的定义与计算，对于为什么这样定义并未做过多的讲解。接下来进⼊重点，讲⼀下特征值与特征向量到底发挥了怎样的作⽤，以及为什么会将这样的向量定义为矩阵的特征向量。
乘幂法求矩阵的特征值及特征向量
上⾯求解矩阵特征值与特征向量的⽅法是常规的⽅法，不过在⾮常⼤时，直接求解特征值及其对应的特征向量开销会很⼤，因此可以⽤乘幂法解其数值。
假定阶矩阵对应的个特征值按模从⼤到⼩的排序为：
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关于的特征向量线性⽆关，此时特征向量可以作为空间的⼀组基。
，建⽴迭代公式：.
……………………
因为，故当，。因此可看成是关于特征值的近似特征向量，不过有个缺点就是当（或），中不为0的分量将随k的增⼤⽽⽆限增⼤，计算机就有可能出现上溢（或下溢）。所以在实际计算时，需按规范法计算，每步先对向量进⾏规范化：
通过上⾯的分析，可将乘幂法求矩阵的特征值及特征向量的⽅法可归纳如下：
1. 计算特征值，任选⼀个向量，递归；懵懂爱情
2. 当充分⼤时或误差 Frobenius Norm ⾜够⼩时，停⽌；
3. 就是当前的主特征向量，对应的特征值为：
λi=maxxk（xk中的最⼤分量）;
4. 在A中去掉主特征λi对应向量的因素
A=A−λizkzTk,
接下来再下⼀个特征对，然后类似计算。
针对特征值相等的情况，假定|λ1|=|λ2|=…=|λm|>|λm+1|>…>|λn|，由于向量α1v1+α2v2+α3v3+…+αmvm仍是属于λ1的特征向量，故利⽤上述⽅法依旧可求解λ1，λm+1,…,λi特征值及其对应的特征向量。
运动
1、从调⾊谈起
我有⼀管不知道颜⾊的颜料，⽽且这管颜料有点特殊，我不能直接挤出来看颜⾊，只能通过调⾊来观
察：
为了分辨出它是什么颜⾊（记得它只能通过调⾊来辨别）：

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