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中的数学模型
摘要
本文先分别求出29种方案对应的各等奖的中奖概率，再考虑影响“彩民”吸引力的各个因素，我们经过分析得到其与六个因素有关，这六个因素分别是：“彩民”购买每张中奖的期望值、高项奖金额的加权值、中得高项奖的概率、整个中奖的概率、一等奖与二等奖单注奖金的相对差额、二等奖与三等奖单注奖金的相对差额，依此建立了一个多目标规划模型。经过求出这六个因素的值，然后分别按每个因素排序，据此分析各方案的合理性。我们发现每种方案都体现了“中奖率大，则中奖额小；中奖额大，则中奖率小”等一般规则。为了综合考虑各个因素，我们利用了模糊综合评判方法综合分析各方案的合理性。根据“保守原则”和“风险原则”，我们分别给定出各因素所占的权值，得出两种结果：保守原则下最合理方案是第23种，但考虑到第23方案在设置奖项及中奖率偏大的特殊情况，我们认为第6种方案是较合理的；风险原则下最合理方案是第27种最合理的结果，同时我们发现，第27、25、26、6、5种方案是比较稳定的，两种原则下都排在靠前的位置的，因此，无论从保守规则还是从冒险规则来说，它们都有是较好的方案。最后我们依据这两种原则下的综合评判结果，向彩民提出了选择类型的原则。
为了获得一种更为合理的方案，我们以上述最合理方案为初始值进行搜索，并将每一新方案加入原方案集中，再用模糊综合评判方法检验其是否更为合理，通过计算搜索得到一种更合理方案，其方案为：
方案
一等奖
二等奖
三等奖
四等奖
五等奖
六等奖
七等奖
7/37
65%
20%
15%
1500
100
50
根据新的方案，我们向管理部门提出了相应的建议。
    最后，我们从加权系数的选择上提出了利用层次分析法方法，通过调查，计算权系数的模型改进意见。

一、问题的提出及分析：
近年来“飚风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入彩民行列。目前流行的主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
  传统型根据单注号码与中奖号码相符的个数多少和顺序确定中奖等级。而乐透型根据单注号码与中奖号码相符的个数确定相应的中奖等级，其中基本号码不可重复。
  虽然行为具有很大的随意性，但是其中必定蕴涵着许多数学规律。我们希望从各种奖项的概率，高项奖金额，奖金设置等方面来寻其规律，据此分析各种发行规则的合理性。同时向彩民提出一些建议，帮助彩民选择参加一种最合适的抽彩方式，并从彩民和发行机构两方面考虑提出一种更为合理的方案。
二、基本假设：
1． 根据发行的一般方法，我们假设如果有多张同时投中某级高项奖，则该级奖金平均分配给每个中此等奖的所有者。
2． 由于无法得知前几期抽奖滚动下来的一等奖奖金，我们忽略它对彩民吸引力的影响。
3． 假设单注金额固定为2元。
4． 单注若已得到高级别的奖就不再得低级别的奖。一等奖单注保金额60万元，封顶金额500万元。
5． 一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配。
6． 有独立的认证系统可以识别出的真假性，也就是只要真票的就有效，假票的就可以识别出来。
7． 的号码是可以重复的。即多人可以售同一号码的票。
8． 假设在考虑奖金额权值时，由于第三等奖以下的影响因素较小。故可以忽略，不考虑。
9． 假设在考虑第i等奖单注与第i+1等奖单注奖金之差的时候，由于第三等奖与第四等奖之差及以下的数值之差都较小，所以我们只考虑一等奖与二等奖之差，二等奖与三等奖之差。
三、符号说明：
:发售出去的总数目。
:总奖金占销售总额的比例。
: 购买的每张中得第i等奖项的概率。
：购买的每张中得第i等奖项的金额，其中高项奖金额为期望值，低项奖金额为固定值。
：在高项奖中，第j种奖项占整个高项奖的比例，。
EX：购买每张所中奖金额的期望值。
： 在高项奖中，第j个奖项在彩民心目中所占的权重。
Y：表示高项奖金额的加权值。
：一等奖与二等奖单注奖金的相对差额；
：二等奖与三等奖单注奖金的相对差额；
H：表示高项奖所含奖项集合，H={i|第i等奖是高项奖}。
L：表示低项奖所含奖项集合，L={i|第i等奖是低项奖}。
四、模型的建立
问题一：
近年来，飓风席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到彩民的行列，目前流行的方案有很多种，根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性，奖项和奖金的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性，影响各种方案合理性的因素我们可以总结以下六个因素：
因素一：EX——“彩民”购买每张中奖的期望值
EX=+               
其中： =（2n-n）/(n)=豁然开朗的豁是什么意思（2-）/,  （），同时如果，则=5.0，如果<6.0，则=6.0。而（2n- n）为各高项奖的奖额；n表示n张中,能中得第i项奖的期望票数。
因素二：Y——高项奖金额的加权值
如果单注奖金额大，则彩民购买的热情越高，的总销售量n就越大。鉴于低项奖的金额不高，自然不必考虑，所以我们只考虑高项奖单注奖金额，而由于一等奖为巨额奖，诱惑力很大，故一等奖在彩民心目中所占比重更大，故可以把各高项奖金额的加权值
Y=
作为吸引彩民的一个重要因素。
因素三：P1 ——中得高项奖的概率
中得高项奖的概率    =，中得高项奖的概率越大，彩民也就越兴趣。
因素四：P2 ——整个中奖的概率
整个中奖的概率=。彩民购买时，都抱有中奖心理。不管中何种奖项， 总比不中奖要好，对于保守型彩民来说，该因素越大越好。
因素五：——一等奖与二等奖单注奖金的相对差额
一等奖与二等奖单注奖金的相对差额=（-）/；“彩民”总希望一等奖和二等奖不要相差太远。同时他又希望一等奖的奖金越大越好。也就是他希望中一个大金额的一等奖，但他也希望二等奖金额大一点，因为他中二等奖的概率要大一些。当高项奖金额的加权值越大时，它的差额就越大，所以它制约着高项奖金额的加权值不能太大。
因素六：——二等奖与三等奖单注奖金的相对差额
  二等奖与三等奖单注奖金的相对差额=（-）/；它和有一样的作用，只是程度的不同而已。
因此，我们可建立如下多目标规划模型
MAX{ EX，Y，，，， }
St. EX=+              （1）
    =（2-）/ ()    （2）
Y=                          （3）
=,=                    （4）
=（-）/,=（-）/      （5）
    ,0()
五、问题求解
1． 确定各个方案的不同奖项的中奖概率。
我们根据问题所提供的计算方法可以确定各个方案的不同奖项的中奖概率。
1).当方案是6+1/10的情况时，各奖项的中奖概率计算公式为：
=  ;        =  ;          = 29;
  =2910+99;      =291010+29910;
=
2）.当方案是7/m（m=29，30，……，37）的情况时，各奖项的中奖概率分别为：
=  ；        =  ；      =；
  =  ；  =；    =；
  =  。
3）．当方案是6+1/ m(m=29,36) 的情况时，各奖项的中奖概率分别为：
=  ；        =  ；  =  ；
  =  ；    =；  =；
=。
4）．当方案是无特别号的7/35的情况时，各奖项的中奖概率分别为：
=  ；      =  ；  =；
=；      = 。
5）．当方案是6/40的情况时，各奖项的中奖概率分别为：
= ；          =；      =；
=；  =；    =。
6）．当方案是5/60的情况时，各奖项的中奖概率分别为：
=；          = ；    =；
= ；        = 。
利用上面的式子可以在计算机上算出这29种不同方案的各奖项的中奖概率。计算结果如表一
表一、各奖项的中奖概率
母亲节感恩
序号
  奖项
概率
方案
一等奖
二等奖
三等奖
四等奖
五等奖
六等奖
七等奖
备注
1
6+1/10
2.000e-7
8.000e-7
1.800e-5
2.610e-4
按序
2
6+1/10
2.000e-7
8.000e-7
1.800e-5
2.610e-4
3.400e-3
4.630e-2
按序
3
6+1/10
2.000e-7
8.000e-7
1.800e-5
2.610e-4
3.400e-3
4.630e-2
按序
4
6+1/10
2.000e-7
8.000e-7
1.800e-5
仓库管理员工作内容2.610e-4
3.400e-3
4.630e-2
按序
5
7/29
6.704e-7   
4.485e-6
9.416e-5
2.826e-4
2.255e-3
4.709e-3
6
6+1/29
6.410e-7
1.410e-5
8.460e-5
8.880e-4
2.220e-3
1.480e-2
7
7/30
4.912e-7
3.438e-6
7.545e-5
2.269e-4
2.383e-3
3.971e-3
2.647e-2
8
7/30
4.912e-7
3.438e-6
7.545e-5
2.269e-4
2.383e-3
3.971e-3
2.647e-2
9
7/30
4.912e-7
3.438e-6
7.545e-5
2.269e-4
2.383e-3
3.971e-3
2.647e-2
哪种中奖率高
10
7/31
3.803e-7
2.662e-6
6.622e-5
1.836e-4
2.020e-3
3.367e-3
2.357e-2
11
7/31
3.803e-7
2.662e-6
6.622e-5
1.836e-4
2.020e-3
3.367e-3
12
7/32
2.971e-7
2.079e-6
4.991e-5
1.497e-4
1.722e-3
2.870e-3
13
7/32
2.971e-7
2.079e-6
4.991e-5
1.497e-4
1.722e-3
2.870e-3
14
7/32
2.971e-7
2.079e-6
4.991e-5
1.497e-4
1.722e-3
2.870e-3
15
7/33
2.340e-7
1.638e-6
4.096e-5
1.228e-4
1.474e-3
2.457e-3
16
7/33
2.340e-7
1.638e-6
4.096e-5
1.228e-4
1.474e-3
2.457e-3
1.884e-2
17
7/34
1.858e-7
1.301e-6
3.383e-5
1.014e-4
1.268e-3
2.114e-3
18
7/34
1.858e-7
1.301e-6
3.383e-5
1.014e-4
1.268e-3
2.114e-3
1.691e-2
19
7/35
1.487e-7
1.041e-6
2.810e-5
8.432e-5
1.096e-3
1.826e-3
20
7/35你还是从前那个少年没有一丝丝改变
1.487e-7
1.041e-6
2.810e-5
8.432e-5
1.096e-3
1.826e-3
1.522e-2
21
7/35
1.487e-7
1.041e-6
2.810e-5
8.432e-5
1.096e-3
1.826e-3
1.522e-2
22
7/35
1.487e-7
1.041e-6
2.810e-5
8.432e-5
1.096e-3
1.826e-3
1.522e-2
23
7/35
1.490e-7
4.590e-5
1.860e-3
2.680e-2
1.680e-1
无特别号
24
6+1/36
1.200e-7
3.470e-6
2.080e-5
2.920e-4
1.290e-4
6.570e-3
8.750e-3
25
6+1/36
1.200e-7
3.470e-6
2.080e-5
2.920e-4
1.290e-4
6.570e-3
26
7/36
1.197e-7
8.385e-7
2.247e-5
7.040e-5
9.509e-4
1.584e-3
1.373e-2
27
7/37
9.713e-8
6.799e-7
1.970e-5
5.910e-5
8.280e-4
1.380e-3
28
6/40
2.600e-7
1.560e-7
5.160e-5
1.290e-4
2.100e-3
2.800e-3
29
5/60
1.830e-7
9.150e-7
4.900e-5
9.880e-5
2.600e-3
2． 确定高项奖的不同奖项的期望奖金额
根据式（2），得出高项奖的不同奖项的期望奖金额的值（计算程序见附录中EXY1.CPP），列表如下：
        表二、高项奖的不同奖项的期望奖金额
一等奖
二等奖
三等奖
4.495409e+02
1.234483e+01
4.260533e-01
1.967375e+02
1.967375e+01
1.311583e+00
1.266600e+02
1.055500e+01
4.691111e-01赞美教师的句子
1.372150e+02
7.916250e+00
4.691111e-01
1.477700e+02
7.916250e+00
3.518333e-01
6.000000e+01
2.706399e+00
1.342484e-01
6.000000e+01
8.936170e-01
8.936170e-02
6.000000e+01
1.638242e+00
9.953214e-02
6.603970e+01
1.347906e+00
1.228390e-01
7.803390e+01
1.486533e+00
1.016044e-01
6.000000e+01
1.713899e+00
1.148294e-01
1.309124e+02
2.493663e+00
1.503654e-01
1.335333e+02
4.403680e+00
2.445802e-01
1.438051e+02
2.935786e+00
2.445802e-01
1.540769e+02
2.935786e+00
1.834352e-01
1.864088e+02
3.804261e+00
3.042666e-01
1.750417e+02
3.334127e+00
1.999988e-01
2.443888e+02
8.054297e+00
4.129920e-01
2.309145e+02
5.819585e+00
3.730062e-01
3.345944e+02
1.024170e+01
3.794167e-01
2.435454e+02
4.969837e+00
3.682278e-01
2.212576e+02
4.214025e+00
2.341708e-01
3.312527e+02
5.914659e+00
2.191160e-01
2.394631e+02
3.322813e+02
1.532133e+00
3.834014e-01
3.836000e+02
1.658213e+00
2.766346e-01
4.229006e+02
1.131959e+01
1.408022e-01
2.366646e+02
4.810256e+01
1.163411e-01
2.270033e+02
1.513355e+01
2.825959e-01

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