文科数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合305x A x x ⎧-⎫
=<⎨⎬-⎩⎭
，集合{}46B x x =<<，则A B = （
）
A ．()
3,6B ．[)
3,6C ．[)
4,5D ．()
4,52．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：i e cos isin θθθ=+（i 为虚数单位），根据此公式可知，若i e 10θ+=，则θ的一个可能值为（）
开通淘宝店铺的流程A ．0
B ．
π2
C ．π
D ．
3π2
3．cos 45cos15sin 45sin15+︒︒︒︒的值为（）
A ．
32
B ．32
-
C ．
12
D ．12
-
4．已知双曲线的方程为22
143
x y -=，双曲线右焦点F 到双曲线渐近线的距离为（
）
A ．1
B C D ．2
5．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：
“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁。问老大是多少岁？（）A ．38
B ．35
C ．32
D ．29
6．为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作，我校开展了“文明行为进班级”的评比活动，现对甲，乙两个年级进行评比，从甲、乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图所示的茎叶图，通过茎叶图比较甲、乙两个年级成绩的平均数及方差大小（
）
A ．x x <；甲乙，22
s s <；甲乙B ．x x >甲乙，22
s s <；甲乙C ．x x <；甲乙，2
2
s s >甲乙
D ．x x >甲乙，2
2
s s >甲乙
7．若AB 是以O 为圆心，半径为1的圆的直径，C 为圆外一点，且2OC =，则CA CB ⋅=
（）
A ．3
B ．3
-C ．0
D ．不确定，随着直径AB 的变化而变化
8．已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点()0,4P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长量长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为（）
A ．30
B ．40
C ．60
赞美长江的诗句D ．80
9．正四面体ABCD 的储视图为边长为1的正方形，则正四面体ABCD 的外接球的表面积为（）
A ．
3π
2
B ．
3π2
C ．3π
D ．12π
10．已知()2
sin cos f x x x =，下列结论中错误的是（）
A ．()f x 即是奇函数也是周期函数
B ．()f x 的最大值为
33
C ．()f x 的图象关于直线π2
x =
对称D ．()f x 的图象关于点()π,0中心对称
11．已卸抛物线()2
:20C y px p =>，F 为C 的焦点，
过焦点F 且倾斜角为α的直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下面陈述不正确的为（
）
A ．2
121234
x x y y p +=-
B ．22sin p AB α
=
C ．
112AF BF p
+=D ．记原点为O ，则2sin AOB
p S α
=
12．下列四个命题：①1ln 22>
，②2
ln 2e
>，③0.22.22log 0.4log 0.4log 0.4log 0.4a +=⋅，④1331log 7log 13<，其中真命题的个数为（
）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
qq云端二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若x ，y 满足约束条件10,10,24,x y x y x y --≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则32x y +的最大值为________．
14．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin A C =，且三条边a ，b ，c 成等比数列，则cos A 的值为________．
15．已知函数()ln 2f x x ax =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围为________．
16．
边长为1的正方体ABCD A B C D ''''-，点FP 为面对角线CD '上一点，则AP BP +的最小值为________．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．
（本小题满分12分）记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且满足()2
41n n S a =+．
（1）求数列{}n a 的通项；
（2）求证：122311111
2
n n a a a a a a ++++< ．18．
（本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ，222AB CD AD ===，将ADC 沿着AC 翻折，使得点D 到点P ，且AP BC ⊥
．
计量单位有哪些（1）求证：平面APC ⊥平面ABC ；（2）求点C 到平面APB 的距离．19．
（本小题满分12分）为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调在问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查，问卷调查的统计情况为：
男生选择更擅长理科的人数占
25，选择文科理科无显著差异的人数占15，选择更擅长文科的人数占2
5；女生选择更擅长理科的人数占15，选择文科理科无显著差异的人数占35，选择更擅长文科的人数占1
5
．根据
调查结果制作了如下22⨯列联表．
更擅长理科
其他
合计
男生女生合计
（1）请将22⨯的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关；
（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，求所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率．
附：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
()20P K k ≥0.0500.0250.0100.0010
k 3.841
5.024
6.635
10.828
20．（本小题满分12分）
已知点()2,0M -，()2,0N ，点P 满足：直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，且123
如何制作寿司4
k k ⋅=-．（1）求点(),P x y 的轨迹C 的方程；
（2）过点()1,0F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，问在x 轴上是否存在点Q ，使得QA QB ⋅
为定值？若
存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知()2
2ln f x ax x x =-+．
（1）若1
2
a =-
，求()f x 的最大值；（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：()()()12121
4ln 543
f x f x x x ++
+<-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为2ρ=，直线l
的参数方程为2,
,x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数）．
（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2
）设点(P -，直线l 与曲线C 有不同的两个交点分别为A ，B ，求11
PA PB
+的值．23．
（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()123f x x x =-+-．（1）求函数()f x 的最小值M ；
（2）若0a >，0b >，且a b M +=，证明：22111
a b a b +≥++．
云南师大附中2021届高考适应性月考卷（二）
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案
D
C
A
C
B
A
A
B
C
B
儿童谜语及答案
D
B
【解析】
1．由题意知，()3,5A =，()4,6B =，所以()4,5A B =，故选D ．2．由题意知，iπe 1cos πisin π
10+=++=，故选C ．
3．原式()3
cos
4515cos302
︒==︒︒-=
，故选A ．4
．由题意知，双曲线的右焦点为)
F
，双曲线的渐近线方程为2
y x =±
，即20y -=，所
以点)
F
到渐近线的距离d =
=，故选C ．
5．由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列，所以
()198
932072
a ⨯+
⨯-=，解得135a =，故选B ．6．由茎叶图可知，甲年级的平均分主要集中在70多分，而且比较集中，而乙主要集中在80分以上，但是
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