2024学年吉林省长春市第一五一中学高三下学期月考四（期末考试）全国卷1数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足31i
i z
=+，则z =（ ）
A ．
1122
i + B ．1122
-
+i C ．
1122
i - D ．1122
国庆节的意义i -
- 2．已知函数12
12log ,18()2,12x x x f x x ⎧
+≤<⎪
=⎨⎪≤≤⎩
，
若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2
ln 20.69,ln 20.48≈≈
A ．
12
B ．
长春购物24
C ．2log 3
D ．
22
3．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平
B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨
C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨
D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 4．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2
}2{|0B x x x =-+>，则A
B =( )
A ．{}1,0-
B ．{}0,1
C ．{}1,0,1-
D ．{}2,1,0,1,2--
5．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）
A ．5i ≤
B ．6i ≤
C ．7i ≤
D ．8i ≤
热血江湖游戏名字7．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有11
1(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ）
幼儿园教育心得A ．
101
10
B ．
9110
C ．111
11
D ．
122
11
9．抛物线2
2y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．0个
D ．无数个
10．设双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右
支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．23⎫+∞⎪⎪⎝⎭
B ．23⎛ ⎝⎦
C ．)
3,⎡+∞⎣
D ．(
3
11．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11
a b a b
β+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）
A ．5
B ．
52
C ．52
-
赛博朋克2077攻略D ．-5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量a 与b 的夹角为
3
π
，|a |＝|b |＝1，且a ⊥（a -λb ），则实数λ=_____. 14．三棱柱111ABC A B C -中， AB BC AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且三棱柱的侧面积为33.若该三棱柱的顶
点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积的最小值为_____．
15．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2
2
210y x b b
-=>经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．
16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足1n n S a +=，则数列{}n S 的前10项的和为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(2,2)x s x s -+之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x ,s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（1）求样本平均数的大小；
（2）若一个零件的尺寸是100 cm ，试判断该零件是否属于“不合格”的零件. 18．（12分）（本小题满分12分）已知椭圆C ：的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面
积为4
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点A （1，0）的直线与椭圆C 交于点M, N，设P 为椭圆上一点，且
O 为坐标原点，当
时，求t 的取值范围．
19．（12分）已知()12f x x x =++-．
（1）已知关于x 的不等式()f x a <；有实数解，求a 的取值范围；
（2）求不等式()2
2f x x x ≥-的解集．
20．（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）
经常网购
偶尔或不用网购 合计 男性 50 100 女性 70 100 合计
（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？ （2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．
参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ ()20P K K ≥ 0.15
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0K
2.072
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
表中2
11i w x =
，10
1110i i w w ==∑.
（1）根据散点图判断，y a bx =+与2状态背景图更改
d
y c x =+哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（3）若旋转的弧度数x 与单位时间内煤气输出量t 成正比，那么x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，()33,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计
分别为()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i v v u u u u β==--=
-∑∑，v u αβ=-.
22．（10分）已知点P 是抛物线2
1:34
C y x =
-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-. （1）判断点()0,1D 是否在直线AB 上？说明理由；
（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【解题分析】
根据复数运算，即可容易求得结果. 【题目详解】
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