用正多边形铺设地面 知识讲解
【学习目标】
1. 通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式；
2. 联系一种正多边形拼地板，探索用多种正多边形拼地板的过程和原理，体会用多种正多边形拼地板与一种正多边形拼地板的相互关系；
3. 通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是几个多边形在一个顶点处的内角相加要等于 360°；
4.提高观察、分析、概括、抽象等能力，进一步认识图形在日常生活中的应用.
【要点梳理】
要点一、正多边形的有关概念
1．正多边形定义：在平面内各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2. 正多边形的内角：正多边形的每个内角都相等，都等于；正多边形的内角和与一般n边形的内角和公式相同为(n-2)·180°(n≥3)．
3. 正多边形的外角和：正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；正多边形的外角和与一般多边形的外角和一样都为360°．
4.正多边形的对角线：连接正多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做正多边形的对角线.
要点诠释：
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)已知正多边形的边数，可求其内角和以及每个内角；已知多边形内角和就可以求其边数；
(3)已知正多边形一个内角可以求其外角，从而用外角和求正多边形边数；
(4)从正n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将正多边形分成(n－2)个三角形；共有 条对角线．
要点二、平面铺设的概念和特征
1.定义：小生意项目用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.
要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.
(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°初二下册数学试卷.
要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.
(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°初二下册数学试卷.
2.用一种正多边形铺设地面
只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，这种正多边形可以铺设地面.事实上，在正多边形中，能用一种正多边形铺满地面的只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.
要点诠释：正多边形能用于铺设地面的前提条件是：这个正多边形一个内角的度数是360°的约数.正三角形的一个内角度数为180÷3=60°，是360°的约数；正方形的一个内角度数为360÷4=90°，是360°的约数；正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约
数，所以它们都可以用于铺设地面，而其他正多边形内角不能满足这个条件，所以不能用于铺设平面.
3.用多种正多边形铺设地面
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个正多边形的内角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
（1）用两种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正三角形与正十二边形；④正方形与正八边形.
（2）用三种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形、正方形与正六边形；②正方形、正六边形与正十二边形③正三角形、正十边形与正十五边形④正方形、正五边形与正二十边形.
要点诠释：（1）用两种正多边形铺设地面满足方程：内角度数×m + 另一种内角度数×n=360°有正整数解（即m、n均为正整数）.
（2）用三种正多边形铺设地面满足方程：内角度数×m + 另一种内角度数×n＋第三种内角度数×k =360°有正整数解（即m、n、k均为正整数）.
（3）有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面.如：正五边形与正十边形的组合.
4.任意多边形平面铺设：
形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形；形状、大小相同的任意四边形（凸四边形）能镶嵌成平面图形.
要点诠释：任意三角形、四边形（形状、大小相同）能镶嵌平面是因为：三角形内角和为180°，是360°的约数；四边形（凸四边形）的内角和是360°，也是360°的约数.所以大小形状相同任意三角形、四边形围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角( 360°)时，就能铺满地面.
【典型例题】
类型一、正多边形的相关概念
1．过正十二边形的一个顶点有 条对角线，它共有 条对角线；它的每一个内角是 度；它的内角和是 度.
【思路点拨】根据正多边形的相关概念，代入公式中进行计算即可得到答案.
【答案与解析】 9，54，150,1800.
【总结升华】从正n多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，共有 条对角线；正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于，先求出外角，进而再求出内角；内角和可以用每个内角与边数乘积求解也可以把边数代入内角和公式中进行求解.
举一反三：
【变式1】已知正多边形的内角和为540°，则该正多边形的边数为 空调出风口滴水是什么原因 ；这个正多边形一共有 条对角线；它的一个外角为 度．
【答案】5 ，5，72；
【变式2】（ •鱼峰区二模）一个多边形每个内角都为108°，这个多边形是 边形．
【答案】五.
解：∵多边形每个内角都为108°，
∴多边形每个外角都为180°﹣108°=72°，
∴边数=360°÷72°=5．
故答案为：五．
类型二、用一种正多边形铺设地面
2. 下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A .正三角形 B.正六边形 C.正方形 D.正五边形
【思路点拨】围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．
旅鼠之谜课件【答案与解析】D；
解：A、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C、正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；D、正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意．故选：D．
【总结升华】本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
举一反三：
【变式】用一种正多边形能进行平面图形铺设的条件是（ ）
A. 内角都是整数度数 B. 边数是3的整数倍
C. 内角整除360o D. 内角整除180o
【答案】C；
类型三、用多种正多边形铺设地面
3. 现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形
C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形
【思路点拨】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满.
【答案与解析】A；
解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，由于90m+120n=360，得m=4﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
B、正三角形和正方形内角分别为60°、90°，由于60°×3+90°×2=360°，故能铺满；
C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，由于60°×2+120°×2=360°，故能铺满；
D、正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°、90°、120°，由于60°+90°+90°+120°=360°，故能铺满．故选A．
【总结升华】考查了平面镶嵌（密铺），解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．
举一反三：
【变式】学校要铺设一个活动场地，供选用的地砖有边长相等的正多边形，为了美观，要求至少用两种不同形状的地砖铺设，同学们设计了四种方案：①正三角形，正四边形；②正三角形，正六边形；③正五边形，正八边形；④正三角形，正四边形，正六边形，你认为以上可行的方案有（ ）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
【答案】C；
4.（ •西城区校级模拟）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 | 3 | 4 | 5 | 6 | … | n |
正多边形每个内角的度数 | _____ | _____ | _____ | _____ | … | ° |
| 防灾减灾手抄报简单 |
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用
这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
【思路点拨】（1）利用正多边形一个内角=（180﹣）°求解；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；
（3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形．
【答案与解析】解：（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形、…、正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…180﹣；
（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；
（3）如：正方形和正八边形（如图），
设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，
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