知识点223 欧拉公式(解答)
1、（2009•凉山州）观察下列多面体，并把下表补充完整．观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式．
考点：欧拉公式。
专题：图表型。
分析：三棱柱的顶点数为：3×2=6，棱数为：3×3=9，面数为：2+3=5；
四棱柱的顶点数为：4×2=8，棱数为：4×3=12，面数为：2+4=6；
五棱柱的顶点数为：5×2=10，棱数为：5×3=15，面数为：2+5=7；
六棱柱的顶点数为：6×2=12，棱数为：6×3=18，面数为：2+6=8．
∴a+c﹣b=2．
解答：解：
规律为a+c﹣b=2．
点评：可先由简单图形得到解决问题的方法．
2、（2006•烟台）下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块．
图号
顶点数x
棱数y
面数z
（a）
8
12
6
（b）
（c）
（d）
（e）
（1）我们知道，图（a）的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图（b）、（c）、（d）、（e）中木块的顶点数、棱数、面数填入下表；工商查档
（2）上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式．
考点：欧拉公式。
专题：规律型。
分析：（1）小题，只要将图（b）、（c）、（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内；
（2）通过观察出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可．
解答：解：（1）见表：
图号2021元旦祝福语 简短独特
顶点数x
棱数y
面数z
（a）
8
12
6
（b）
6
9
5
（c）
8
12
6
（d）
8
13
7
（e）
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10
15
7
（2）规律：x+z﹣2=y．
点评：命题立意：考查平均数的求法，搜集信息的能力（读表），作图能力及用样本估计总体的统计思想．
3、（1）图①是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图②、③、④、⑤的木块．我们知道，图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图②、③、④、⑤中木块的顶点数、棱数、面数填人下表：
（2）观察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数虽关系是：　顶点数+面数﹣棱数=2　．
（3）图⑥是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图②～⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为　8　，棱数为　6　，面数为疫情补助金怎么领取　3　．
考点：欧拉公式。
专题：规律型。
分析：（1）只要将图（b）、（c）、（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内；
（2）通过观察出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可．
（3）按要求做出图形，注意是与图②～⑤不同的切法，然后数出该木块的顶点数，棱数和面数即可．
解答：解：（1）见表：
（2）观察上表，即可归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数的关系是：顶点数+面数﹣棱数=2．
（3）如切过之后为一长方体，所画图形如下所示：
则该木块的顶点数为8，棱数为6，面数为3．
故答案为：顶点数+面数﹣棱数=2；8，6，3．
点评：本题考查了欧拉公式的知识，同时考查了平均数的求法，搜集信息的能力（读表），作图能力及用样本估计总体的统计思想．
4、如图，左面的几何体叫三棱柱，它有五个面，9条棱，6个顶点，中间和右边的几何体分别是四棱柱和五棱柱．
（1）四棱柱有　8　个顶点，　12　条棱，　6　个面；
（2）五棱柱有　10　个顶点，　15　条棱，　7　个面；
（3）你能由此猜出，六棱柱、七棱柱各有几个顶点，几条棱，几个面吗？
（4）n棱柱有几个顶点，几条棱，几个面吗？
考点：欧拉公式。
专题：规律型。
分析：结合已知三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱．
解答：解：（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；
（2）五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；
（3）六棱柱有12个顶点，18条棱，8个面；
七棱柱有14个顶点，21条棱，9个面；
（4）n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱．
点评：熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱．
5、是否存在一个有10个面、24条棱和18个顶点构成的棱柱？若存在，请指出是几棱柱；如果不存在，请说明理由．
考点：欧拉公式。
分析：一个直棱柱有18个顶点，说明它的上下底面是两个九边形，从而可以确定它的面的个数．
解答：解：由棱柱的特性可知：不存在一个有10个面、24条棱和18个顶点构成的棱柱．
因为有18个顶点构成的棱柱是九棱柱，它有9+2=11个面、3×9=27条棱．
点评：本题主要考查n棱柱的构造特点：（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．
6、每四年一次的世界杯足球赛吸引了众多的球迷，实际上国际足联规定的足球是由一块块正五边形、正六边形的皮缝制而成的．若将之视作一个多面体，则它的面数f、棱数e、顶点v之间存在着一个关系式f+v﹣e=2，若已知棱数为48，顶点数为24，则面数必为多少？
考点：欧拉公式。
分析：把e=48，v=24直接代入所给关系式即可．
解答：解：∵f+v﹣e=2且v=24，e=48，
∴f=2+e﹣v=2+48﹣24=26，故面数必为26面．
点评：本题考查几何体面数，顶点数，棱数之间的关系．
7、已知一个多面体的各个面都是五边形，你能运用欧拉公式证明这个多面体的顶点数V，棱数E，面数F之间有2V=3F+4的关系吗？试试看吧!
考点：欧拉公式。
专题：探究型。
分析：根据各个面都是五边形的多面体的构造特点及欧拉公式V+F﹣E=2可证．
解答：解：一个多面体的各个面都是五边形，这个多面体E=F+F=F，
∵V+F﹣E=2，
请示的范文∴V+F﹣F=2，
∴2V=3F+4．
点评：本题考查几何体面数，顶点数，棱数之间的关系．
8、“每四年一次的世界杯足球赛吸引了众多的球迷，今年的世界杯西班牙队夺冠，不仅仅成就了西班牙足球的全新高度，也是足球世界的大事．自1998年以来，12年里，世界足坛再没有迎来新的霸主．此前，夺取过世界杯冠军的球队只有7支：巴西五次加冕（1958年
、1962年、1970年、1994年、2002年）、意大利四次称雄（1934年、1938年、1982年、2006年）、德国三次登顶（1954年、1974年、1990年），阿根廷两次抡元（1978年、1986年），乌拉圭两次夺冠（1930年、1950年），法国（1998年）、英格兰（1966年）各自夺冠一次．如今，西班牙光荣的成为历史上第八支世界杯冠军球队．这意味着，世界杯的历史已被突破！”
实际上国际足联规定的足球是由一块块正五边形、正六边形的皮缝制而成的．若将之视作一个多面体，则它的面数f、棱数e、顶点v之间存在着一个关系式f+v﹣e=2，若已知棱数为48，顶点数为24，则面数必为多少？
考点：欧拉公式。
分析：把e=48，v=24直接代入所给关系式即可．
解答：解：∵f+v﹣e=2且v=24，e=48，
∴f=2+e﹣v=2+48﹣24=26，
故面数必为26面．
点评：本题考查用待定系数法求未知字母的解．对于任一凸多面体均满足f+v﹣e=2这一关系式．九九重阳节的诗词大全
9、仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题：
（1）填空：①正四面体的顶点数V=　4　，面数F=　4　，棱数E=　6　．
②正六面体的顶点数V=　8　，面数F=　6　，棱数E=　12　．
③正八面体的顶点数V=　6　，面数F=　8　，棱数E=　12　．
（2）若将多面体的顶点数用V表示，面数用F表示，棱数用E表示，则V、F、E之间的数量关系可用一个公式来表示，这就是著名的欧拉公式，请写出欧拉公式：　V+F﹣E=2　．
（3）如果一个多面体的棱数为30，顶点数为20，那么它有多少个面？
考点：欧拉公式。
专题：规律型。
分析：（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可．
（2）根据（1）中，多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得V、F、E之间的数量关系式．
（3）根据（2）中，顶点数，面数和棱数之间的关系式，代入求解即可．
解答：解：（1）①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12；
（2）V、F、E之间的数量关系是：V+F﹣E=2；
（3）解：设面数为F，
则20+F﹣30=2
解得F=12
答：它有12个面．
点评：本题考查的是多面体的定义，关键点在于：多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体．
10、（1）三棱锥有6条棱，4个面，四棱锥有　8　条棱，　5　个面；
（2）　十五　棱锥有30条棱；
（3）有没有一个多棱锥，其棱数是2006，若有求出有多少个面；若没有，说明理由．

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