2023-2024学年河南省南阳市高一下册期中数学试题
一、单选题1．14π
sin 3
=（）
A B ．12
-
C ．1
2
D 【正确答案】D
【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值计算作答.
【详解】14π2π2πππsin sin(4π)sin sin(πsin 33333=+==-==
故选：D
2．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且30A =︒，3,4a b ==，则满足条件的三角形有（）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
【正确答案】C
【分析】根据sin b A 与,a b 的大小判断可得.【详解】因为30A =︒，3,4a b ==，1
sin 422
b A =⨯
=，所以sin b A a b <<，所以满足条件的三角形有2个.故选：C
3．若α为第三象限角且()3sin π5α-=-，则πcos 2α⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（
）
A ．45
-
B ．35
-
C ．
35
D ．
4
5
【正确答案】B
【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值.
【详解】因为()3sin πsin 5αα-==-，则π3cos sin 25αα⎛⎫
-==- ⎪⎝⎭
.
故选：B.
4．下列说法正确的是（
）
A ．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B ．若向量,a b 满足a b > 且,a b 同向，则a b
>
C ．若P A B ，，三点满足3OP OA OB =+
，则P A B ，，三点共线
D ．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为π3
【正确答案】A
【分析】根据象限角的概念判断A ，利用向量的定义以及共线定理判断B,C ，利用任意角的定义判断D.
【详解】因为斜三角形的内角是锐角或钝角，
且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A 正确；因为两个向量不能比较大小，所以B 错误；由3OP OA OB =+ ，可得1341+=≠，
根据向量的共线定理可知，P A B ，，三点不共线，所以C 错误；将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了60 ，所以分针转过的角的弧度数为π
3
-，所以D 错误，南阳普通高中有哪些
故选:A.
5．将函数()cos 3y x φ=+的图象沿x 轴向左平移12
π
个单位后，得到的函数的图象关于原点
对称，则ϕ的一个可能值为（）
A ．712
π-
B ．4π-
C ．
4
πD ．
512
π【正确答案】C
【分析】先求平移后的函数解析式，然后根据对称性求解可得.【详解】将函数()cos 3y x φ=+的图象沿x 轴向左平移
12
π
个单位后的函数为
cos 3(cos(3)124y x x ϕϕππ⎛⎫
=++=++ ⎪⎝⎭
，因为cos(3)4y x ϕπ=++的图像关于原点对称，所以
π4
2
k π
π
ϕ+=+
，即π4
k π
ϕ=+
，
当0k =时，4
π
ϕ=
.
故选：C
6．已知函数()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,，()y f x =的部分图象如图，则7π24f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（）
A ．23
B 3
C ．33
-
D ．3
【正确答案】C
【分析】由图象可求得π
2
T =
，2ω=.然后根据3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，结合ϕ的取值即可推出π4ϕ=，
根据()01f =，求出1A =，即可得出()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭.然后将7π
24x =代入，即可得出答案.
【详解】由图象可知，3πππ8842
T -==，所以π
2T =.
由π
π
2T ω=
=
可得，2ω=，所以()()tan 2f x A x ϕ=+.又3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，所以3πtan 04A ϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭，
所以3ππ,4k k ϕ+=∈Z ，所以3ππ,4
k k ϕ=-+∈Z .因为π2ϕ<，所以π
4ϕ=，()πtan 24f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭.
又()01f =，所以πtan 14A A ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，所以1A =，
所以()πtan 24f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
所以7π7ππ5π3tan 2tan 2424463f ⎛⎫⎛⎫
=⨯
+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故选：C.
7．在ABC 中，1,90AC BC C ==∠=︒．P 为AB 边上的动点，则PB PC ⋅
的取值范围是（）
A ．1,14⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
B ．1,18⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦C ．1,24⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦D ．1,28⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
【正确答案】B
【分析】以C 为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线AB 所在直线方程为1y x =-+，设(),1P t t -+，得到2
31
248
PB PC t ⎛⎫⋅=-
- ⎪⎝
⎭
，利用二次函数的性质即可求出其值域.
【详解】以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y
轴，建立直角坐标系，
则()()0,1,1,0A B ，直线AB 所在直线方程为1y x =-+，
设(),1P t t -+，[]0,1t ∈，则()1,1PB t t =-- ，(),1PC t t =--
，
()()223111248
PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+-=-- ⎪⎝⎭ ，
当0=t 时，
()
max
1PB PC ⋅= ，当3t 4
=时，()
min
18
PB PC
⋅=-
，故其取值范围为1,18⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
故选：B.
8．在锐角三角形ABC 中，下列结论正确的是（）
A ．()() cos cos cos sin C
B >B ．()() cos sin cos cos A B >
C ．()()cos sin cos cos C B >
D ．()()
cos sin cos cos A A >【正确答案】A 【分析】利用2
B C π
+>，即022
C B ππ
<
-<<，结合余弦函数的单调性可判断ABC ，取特值可判断D.
【详解】因为ABC 为锐角三角形，所以2
B C π
+>，
所以022
C B ππ
<
-<<，所以1sin sin()cos 0
2B C C π>>-=>所以()() cos cos cos sin C B >，故A 正确；
同理，1sin cos 0A B >>>，所以cos(sin )cos(cos )A B <，故B 错误；同上，1sin cos 0C B >>>，所以()()cos sin cos cos C B <，故C 错误；又4A π
=
时，cos(sin )cos(cos )44
ππ
=，故D 错误.故选：A
二、多选题
9．下列四个命题为真命题的是（
）
A ．若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c
，则//a c
r r B ．若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b
可作为平面向量的一组基底
C ．若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫
⎪
⎝⎭D ．若向量m 、n
满足
2m = ，3n = ，3m n ⋅=
，
则m n += 【正确答案】BC
【分析】取0b =
，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c
不一定共线，A 错；
对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b
不共线，
所以，a 、b
可作为平面向量的一组基底，B 对；
对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b = ，
所以，a 在b
上的投影向量为()2220cos ,4,3
25b a b a b a a b a b b b a b b
⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅
1612,55⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，C 对；对于D 选项，因为向量m 、n
满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，
则
m n +
，D 错.
故选：BC.
10．已知函数()()11
sin cos sin cos 22
f x x x x x =
+--，则下面结论正确的是（）
A ．()f x 的对称轴为()π
π4
x k k =
+∈Z B ．()f x 的最小正周期为2π
C ．() f
x ，最小值为1-
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