§2.10 函数模型及其应用考情考向分析 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度．
1．几类函数模型函数模型
函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)
反比例函数模型f (x )＝＋b (k ，b 为常数且k ≠0)k x
二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)
指数函数模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)
对数函数模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)
幂函数模型
f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2.三种函数模型的性质
函数
性质
y ＝a x (a >1)
y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上
单调递增单调递增单调递增
的增减性
增长速度越来越快越来越慢相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表
现为与y轴平行随x的增大逐渐表
现为与x轴平行
随n值变化而各
有不同
值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x
概念方法微思考
请用框图概括表示解函数应用题的一般步骤．
提示 解函数应用题的步骤
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )
(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )
(3)不存在x 0，使<x <log a x 0.( × )0x
a n 0(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·
b x ＋
c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )
题组二 教材改编
2．[P104习题T1]某县目前人口100万人，经过x 年后为y 万人，若人口年增长率是1.2%，则y 关于x 的函数关系式是________．
答案 y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)
解析 本题属于简单的指数模型的应用问题，依题意有y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)．
3．[P99例3]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x
万件时的生产成本为C (x )＝x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该12
企业一个月应生产该商品数量为________万件．
答案 18
解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－(x －18)2＋142，12
当x ＝18时，L (x )有最大值．
4．[P77例8]某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是______________年．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg
1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
答案 2020
解析 设从2016年起，过了n (n ∈N *)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1
＋12%)n ≥200，则n ≥≈＝3.8，lg
2013lg 1.120.30－0.110.05由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.
题组三 易错自纠
5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．答案 －1
(p ＋1)(q ＋1)解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )，
∴x ＝－1.
(1＋p )(1＋q )6．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100
只，到第8年它们发展到________只．
答案 200
解析 由题意知100＝a log 3(2＋1)，
∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)．
当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.
题型一 已知函数模型的实际问题
例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
答案 3.75
解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得Error!
消去c 化简得Error!解得Error!
2016江苏高考所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－＋－2＝－2＋，所以当t ＝＝3.7515(t 2－152t ＋22516)451615(t －154)
1316154时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
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