《高级宏观经济学》考研罗默版2021考研复习与习题
第1章 索洛增长模型
1.1 增长率的基本性质。利用变量增长率等于其对数的时间导数这一性质证明：
（a）两个变量之积的增长率等于其各自增长率之和。即，若Z（t）＝X（t）Y（t），则：
（b）两个变量之比的增长率等于其各自增长率之差。即，若Z（t）＝X（t）/Y（t），则：
（c）若Z（t）＝X（t）α，则。
证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：
再简化为下面的结果：
则得到（a）的结果。
（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：
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邓超的个人资料再简化为下面的结果：
则得到（b）的结果。
（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
又由于ln[X（t）α]＝αlnX（t），其中α是常数，有下面的结果：
则得到（c）的结果。
1.2 假设某变量X的增长率从时刻0到时刻t1为常数，并且等于a＞0；在时刻t1降为0；从时刻t落叶归根歌词1到t2逐渐从0增加到a；在时刻t2后为常数，并且等于a。
胡歌春晚（a）用图形表示出X的增长率随时间的变化。
（b）用图形表示出lnX随时间的变化。
答：（a）根据题目的规定，X的增长率的图形如图1-1所示。
从时刻到t1时刻X的增长率为常数且等于a（a＞0），为图形中的第一段。X的增长率从0上升到a，对应于图中的第二段。从t2时刻之后，X的增长率再次变为a。
图1-1 时间函数X的增长率
（b）注意到lnX关于时间t的导数（即lnX的斜率）等于X的增长率，即：
最新钓鱼用具因此，lnX关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到t1时刻，lnX的斜率为a（a＞0），在t1时刻，X（t）的增长率出现不连续的变化，因此lnX的斜率出现扭曲，在t1时刻至t基金定投技巧2时刻，lnX的斜率由0逐渐变为a；从t2时刻之后，lnX的斜率再次变为a（a＞0）。
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