2023年考研《数学一》真题及详解【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学一》真题及详解【完整版】
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫
=+
⎪-⎝
⎭
的渐近线方程为（  ）
。 A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝x
D ．y ＝x －1/e 【试题答案】B
【试题解析】由已知1ln 1y x e x ⎛⎫
=+
⎪-⎝⎭
，则可得： 1ln 11lim lim lim ln 11x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛
⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111
lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝
⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦
所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e 。
2．若微分方程y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（  ）。 A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜0 【试题答案】C
【试题解析】由题意，微分方程的特征方程为λ2＋a λ＋b ＝0。
当Δ＝a 2－4b ＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零。 若C 1、C 2都不为零，则微分方程的解为1212x
x y C e
C e λλ=+。因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）
上有界。
当Δ＝a 2－4b ＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2。
若C 2≠0，则微分方程的解为2
2
12a a x x y C e
C e
--
=+。因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）上有界。
当Δ＝a 2
－4b ＜0
时，特征方程的根为1,22a λ=-±
。
则通解为2
12cos
sin 22a x y e
C x C x -
⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
。 要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a ＝0，结合Δ＝a 2－4b ＜0，可得b ＞0。
3．设函数y ＝f （x ）由2sin x t t y t t
⎧=+⎪⎨
=⎪⎩确定，则（  ）
。
A ．f （x ）连续，f ′（0）不存在
B ．f ′（0）存在，f ′（x ）在x ＝0处不连续
C ．f ′（x ）连续，f ′′（0）不存在
D ．f ′′（0）存在，f ′′（x ）在x ＝0处不连续 【试题答案】C
【试题解析】（1）当t ＞0时，3sin x t y t t =⎧⎨
=⎩，d sin cos d 3y t t t
x
+=
。 当t ＜0时，sin x t y t t =⎧⎨
=-⎩，d sin cos d 1y t t t
x
--=
。 当t ＝0时，因为()()()0
00sin 0lim lim 03x t f x f t t
f x t
+
+
+→→-'===。 ()()()0
00sin 0lim lim 0x t f x f t t
f x t
-
-
-→→--'===。 所以f ′（0）＝0。 （2）因为()0
sin cos lim lim 03x t t t t f x ++
→→+'==；()00sin cos lim lim 03
x t t t t
f x --
→→--'==。 所以()()0
lim 00x f x f →''==，即f ′（x ）在x ＝0连续。
（3）当t ＝0时，因为()()()0
00sin cos 20lim lim 339
x t f x f t t t f x t +
+
+→→''-+''===⋅； ()()()0
00sin cos 0lim lim 2x t f x f t t t
f x t -
-
-→→''---''===-。
故()()00f f +-''''≠。 所以f ′′（0）不存在。
4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，…），若级数1
n
n a
∞
=∑与
1
n
n b
∞
=∑均收敛，则“级数
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛”是“
1
n
n b
∞
=∑绝对收敛”的（  ）。
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【试题答案】A 【试题解析】由级数
1
n考研数学一二三区别
n a
∞
=∑与
1
n
n b
∞
=∑均收敛，可得
()1
n
n n b
a ∞
=-∑为收敛的正项级数，进而绝对收敛。
若
1n
n a
∞
=∑绝对收敛，则由|b n |＝|b n －a n ＋a n |≤|b n －a n |＋|a n |与比较判别法，可得
1n
n b
∞
=∑绝对收敛。
若1
n
n b
∞
=∑绝对收敛，则由|a n |＝|a n －b n ＋b n |≤|b n －a n |＋|b n |与比较判别法，可得
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛。
5．已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC ＝O ，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵O A BC E ⎛⎫
⎪⎝⎭，AB C O E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，E AB AB O ⎛⎫
⎪⎝⎭
的秩分别为γ1，γ2，γ3，则（  ）
。 A ．γ1≤γ2≤γ3 B ．γ1≤γ3≤γ2 C ．γ3≤γ1≤γ2 D ．γ2≤γ1≤γ3 【试题答案】B
【试题解析】因初等变换不改变矩阵的秩。由矩阵的初等变换可得：
O A ABC O O O BC E BC E BC E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，因此γ1＝n 。 AB C AB O O E O E ⎛⎫⎛⎫
→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此γ2＝r （AB ）＋r （E ）＝n ＋r （AB ）
。 E AB E O E O AB
O AB ABAB O ABAB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，因此γ3＝r （ABAB ）＋n ≤r （AB ）＋n 。 故选择B 项。
6．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（  ）。
A ．11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．11020002a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．11022002a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
【试题答案】D
【试题解析】A 项，矩阵的特征值为1，2，3，互不相同，可相似对角化。 B 项，矩阵为实对称矩阵，可相似对角化。
C 项，矩阵特征值为1，2，2，二重特征值的重数2＝3－r （C －2E ），可相似对角化。
D 项，矩阵特征值为1，2，2，二重特征值的重数2≠3－r （D －2
E ），不可相似对角化。 故选择D 项。
7．已知向量1123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，2211⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，1259⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β，2101⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
β，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由β1，
β2线性表示，则γ＝（  ）。
A ．33,4k k R ⎛⎫
⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．35,10k k R ⎛⎫
⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．11,2k k R -⎛⎫
⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．15,8k k R ⎛⎫
⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭
【试题答案】D
【试题解析】设γ＝x 1α1＋x 2α2＝y 1β1＋y 2β2，则x 1α1＋x 2α2－y 1β1－y 2β2＝0。又
()121212211003,,,2150010131910011--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
ααββ
故可得：
121231,11x x c c R y y -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以可得：
12111555,888c c c c k k R -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=-+=-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
γββ
8．设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则E （|X －EX|）＝（  ）。
A ．1/e
B ．1/2
C ．2/e
D ．1
【试题答案】C
【试题解析】方法1：由题意可知EX ＝1，所以1,        0
1,1,2,...
X X EX X X =⎧-=⎨
-=⎩。故可得：
{}(){}
(){}(){}()()()1
01011101011101111012k k E X EX P X k P X k k P X k P X e E X e e EX e e e
∞
=∞
=-=⋅=+-==+-=--==+---=+---=∑∑ 因此选C 项。
方法2：随机变量X 服从参数为1泊松分布，即()()1
10,1,2,...!
P X k e k k -===，期望E （X ）＝1。故可得：

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