2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学一》真题及详解
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
1．曲线的渐近线方程为（ ）。
A．y＝x＋e
B．y＝x＋1/e
C．y＝x
D．y＝x－1/e
〖答案〗：B
〖解析〗由已知，则可得：
所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e。
2．若微分方程y′′＋ay′＋by＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。
A．a＜0，b＞0
B．a＞0，b＞0
C．a＝0，b＞0
D．a＝0，b＜0
〖答案〗：C
〖解析〗由题意，微分方程的特征方程为λ2＋aλ＋b＝0。
当Δ＝a2－4b＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零。
若C1、C2都不为零，则微分方程的解为。因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）上有界。
当Δ＝a2－4b＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2。
若C2≠0，则微分方程的解为。因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）上有界。
当Δ＝a2－4b＜0时，特征方程的根为。
则通解为。
要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a＝0，结合Δ＝a2－4b＜0，可得b＞0。
3．设函数y＝f（x）由确定，则（ ）。
A．f（x）连续，f′（0）不存在
B．f′（0）存在，f′（x）在x＝0处不连续
C．f考研数学一二三区别′（x）连续，f′′（0）不存在
D．f′′（0）存在，f′′（x）在x＝0处不连续
〖答案〗：C
〖解析〗（1）当t＞0时，，。
当t＜0时，，。
当t＝0时，因为。
。
所以f′（0）＝0。
（2）因为；。
所以，即f′（x）在x＝0连续。
（3）当t＝0时，因为；
。
故。
所以f′′（0）不存在。
4．已知an＜bn（n＝1，2，…），若级数与均收敛，则“级数绝对收敛”是“绝对收敛”的（ ）。
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
〖答案〗：A
〖解析〗由级数与均收敛，可得为收敛的正项级数，进而绝对收敛。
若绝对收敛，则由|bn|＝|bn－an＋an|≤|bn－an|＋|an|与比较判别法，可得绝对收敛。
若绝对收敛，则由|an|＝|an－bn＋bn|≤|bn－an|＋|bn|与比较判别法，可得绝对收敛。
5．已知n阶矩阵A，B，C满足ABC＝O，E为n阶单位矩阵，记矩阵，，的秩分别为γ1，γ2，γ3，则（ ）。
A．γ1≤γ2≤γ3
B．γ1≤γ3≤γ2
C．γ3≤γ1≤γ2
D．γ2≤γ1≤γ3
〖答案〗：B
〖解析〗因初等变换不改变矩阵的秩。由矩阵的初等变换可得：
，因此γ1＝n。
，因此γ2＝r（AB）＋r（E）＝n＋r（AB）。
，因此γ3＝r（ABAB）＋n≤r（AB）＋n。
故选择B项。
6．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（ ）。
A．
B．
C．
D．
〖答案〗：D
〖解析〗A项，矩阵的特征值为1，2，3，互不相同，可相似对角化。
B项，矩阵为实对称矩阵，可相似对角化。
C项，矩阵特征值为1，2，2，二重特征值的重数2＝3－r（C－2E），可相似对角化。
D项，矩阵特征值为1，2，2，二重特征值的重数2≠3－r（D－2E），不可相似对角化。
故选择D项。
7．已知向量，，，，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由β1，β2线性表示，则γ＝（ ）。
A．
B．
C．
D．
〖答案〗：D
〖解析〗设γ＝x1α1＋x2α2＝y1β1＋y2β2，则x1α1＋x2α2－y1β1－y2β2＝0。又
故可得：
所以可得：
8．设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E（|X－EX|）＝（ ）。
A．1/e
B．1/2
C．2/e
D．1
〖答案〗：C
〖解析〗方法1：由题意可知EX＝1，所以。故可得：
因此选C项。
方法2：随机变量X服从参数为1泊松分布，即，期望E（X）＝1。故可得：
因此选C项。
9．设X1，X2，…，Xn为来自总体N（μ1，σ2）的简单随机样本，Y1，Y2，…，Ym为来自总体N（μ2，2σ2）的简单随机样本，且两样本相互独立，记，，，，则（ ）。
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