第14讲 函数的应用
陕西《中考说明》 | 陕西2012～2014年中考试题分析 | ||||||
考点归纳 | 考试要求 | 年份 | 题型 | 题号 | 分值 | 考查内容 | 分值 |
比重 | |||||||
函数的应用 | 1.能用一次函数解决实际问题，结合具体情境体会一次函数的意义；2.能用反比例函数解决某些实际问题，结合具体情境体会反比例函数的意义；3.能用二次函数解决简单的实际问题，通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义 | ||||||
2014 | 选择题 | 10 | 3 | 一次函数的实际应用(1.求函数关系式；2.代值计算) | |||
2013 | 解答题 | 21 | 8 | 一次函数的实际应用 | |||
2012 | 解答题 | 21 | 8 | 一次函数的实际应用(1.求函数关系式；2.代值计算) | 6.7% | ||
陕西近三年中考对本节内容的考查主要是一次函数的实际应用，每年都在解答题中考查，且都稳定在第21题，分值为8分，考查形式一般有两种，一种是结合图象考查，一种为涉及图象，而对于反比例函数和二次函数的实际应用没有考查过．预计在2015年的中考中，本节内容仍会在解答题第21题考查一次函数的实际应用，结合图象考查的可能性较大，考生在复习时应熟练掌握本节的考点，通过做习题多加训练，以便从容应考．
1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．
2．利用函数知识解应用题的一般步骤：
(1)设定实际问题中的变量；
(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；
(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；
(4)利用函数的性质解决问题；
(5)写出答案．
3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．
一种模型
函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数的实际问题要认真分析，构建函数模型，从而解决实际问题．函数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面．
两种技巧
(1)实际问题中函数解析式的求法：设x为自变量，y为x的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x，y的二元方程，再用含x的代数式表示y.
(2)利用题中的不等关系，或结合实际求出自变量x的取值范围．
三种题型
(1)选择题——关键：读懂函数图象，学会联系实际；
(2)综合题——关键：运用数形结合思想；
(3)求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．
1．(2014·陕西)小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1 kg收费22元，超过1 kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg)．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？
解：(1)由题意，得，当0＜x≤1时，y＝22＋6＝28；当x＞1时y＝28＋10(x－1)＝10x＋18；∴y＝ (2)当x＝2.5时，y＝10×2.5＋18＝43.∴这次快寄的费用是43元
2．(2013·陕西)“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象．
(1)求他们出发半小时时，离家多少千米？
(2)求出AB段图象的函数表达式；
(3)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？
解：(1)由图象可设OA段图象的函数表达式为y＝kx，当x＝1.5时，y＝90；所以：1.5k＝90解得k＝60即y＝60x(0≤x≤1.5)，当x＝0.5时，y＝60×0.5＝30，答：行驶半小时时，他们离家30千米 (2)由图象可设AB段图象的函数表达式为y＝k′x＋b，因为A(1.5，90)，B(2.5，170)在AB上，代入得解得：k′＝80，b＝－30，所以y＝80x－30(1.5≤x≤2.5) (3)当x＝2时，代入得：y＝80×2－30＝130，所以170－130＝40，答：他们出发2小时时，离目的地还有40千米
3．(2012·陕西)科学研究发现，空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．
(1)求出y与x的函数表达式；
(2)已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？
解：(1)设y＝kx＋b，则有解之，得∴y＝－x＋299 (2)当x＝1200时，y＝－×1200＋299＝260.6(克/立方米)，∴该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米
一次函数相关应用题
【例1】 (2014·绵阳)绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案①：购买一张成人票赠送一张学生票；方案②：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．
(1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式；
(2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．
解：(1)按优惠方案①可得y1＝20×4＋(x－4)×5＝5x＋60(x≥4)，按优惠方案②可得y2＝(5x＋20×4)×90%＝4.5x＋72(x≥4) (2)因为y1－y2＝0.5x－12(x≥4)，①当y1－y2＝0时，得0.5x－12＝0学生票五一可以用吗，解得x＝24，∴当购买24张学生票时，两种优惠方案付款一样多．②当y1－y2＜0时，得0.5x－12＜0，解得x＜24，∴4≤x＜24时，y1＜y2，优惠方案①付款较少．③当y1－y2＞0时，得0.5x－12＞0，解得x＞24，当x＞24时，y1＞y2，优惠方案②付款较少
【点评】 解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．
1．(2013·黔东南州)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．
(1)根据图象，求y与x之间的函数关系式；
(2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；
(3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案．哪种方案获利最大？最大获利为多少元？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由函数图象，得解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋300
(2)∵y＝－x＋300，∴当x＝120时，y＝180.设甲品牌进货单价是a元，则乙品牌的进货单价是2a元，由题意得120a＋180×2a＝7200，解得a＝15，∴乙品牌的进货单价是30元．即甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元，30元 (3)设甲品牌文具盒进货m个，则乙品牌文具盒的进货(－m＋300)个，由题意得解得180≤m≤181，∵m为整数，∴m＝180，181.∴共有两种进货方案：方案1：甲品牌进货180个，则乙品牌的进货120个；方案2：甲品牌进货181个，则乙品牌的进货119个；设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W元，由题意得W＝4m＋9(－m＋300)＝－5m＋2700.∵k＝－5＜0，∴W随m的增大而减小，∴m＝180时，W最大＝1800元
反比例函数相关应用题
【例2】 (2013·德州)某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．
(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；
(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？
解：(1)由题意得y＝，把y＝120代入y＝，得x＝3.把y＝180代入y＝，得x＝2，∴自变量的取值范围为2≤x≤3，∴y＝(2≤x≤3)
(2)设原计划平均每天运送土石方x万立方米，则实际平均每天运送土石方(x＋0.5)万立方米，根据题意得－＝24，解得x＝2.5或x＝－3.经检验x＝2.5或x＝－3均为原方程的根，但x＝－3不符合题意，故舍去．答：原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米
【点评】 本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
2．(2012·安徽)甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．
(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少元钱？
(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p(p＝)，写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；
(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由．
解：(1)510－200＝310(元) (2)p＝，∴p随x的增大而减小 (3)购x元(200≤x＜400)在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是x－0.6x＝0.4x，当0.4x＜100，即200≤x＜250时，选甲商场优惠；当0.4x＝100，即x＝250时，选甲、乙商场一样优惠；当0.4x＞100，即250＜x＜400时，选乙商场优惠
二次函数相关应用题
【例3】 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
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