2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁U A＝．2．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为．
3．（4分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则其两条渐近线的夹角为．
4．（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n＝．
高考满分9005．（4分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是．
6．（4分）若圆锥的母线长
7．（5在无穷等比数列中，（＝
8．（5ln
数a
9．（5中，第3行第2列的元素的代数余子式记作（x
10．（5x）i，z2＝（sin x+cos
对应的点分别为Z1，Z2，若∠
）的最小正周期．
11．（5不等式则实数a的最大值为
12．（5
（n∈N*），且d＝a5＝b2，若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．若H n是数列{T n}的前n项和，对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，则所有满足条件的k的值为．
二、选择题（本题共有4题，满分20分）
13．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）＝arcsin x B．y＝lg|x|
C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝cos x
14．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，
则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）
A．B．C．D．
15．（5分）已知f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）
A．a≤c≤b B．b≤c≤a C．c≤b≤a D．a≤b≤c
16．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）
A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（14分）如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，P A＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）求三棱锥E﹣P AD的体积；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．
18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝．（1）若sin A＝，求cos C；
（2）已知b＝4，证明≥﹣5．
19．（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1﹣）元，其中1≤x≤10．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．
20．（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同
的两点A，B，满足P A，PB的中点均在抛物线C上
（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；
（2）设AB中点为M，且P（x P，y P），M（x M，y M），证明：y P＝y M；
（3）若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的最小值．
21．（18分）记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，其中n∈N*．
（1）若a n＝2n+cos，请写出b3的值；
（2）求证：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；
（3）若对任意n，有|a n|＜2018，且|b n|＝1，请问：是否存在K∈N*，使得对于任意不小于K的正整数n，有b n+1＝b n成立？请说明理由．
2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁U A＝{1，2}．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，
集合A＝{3，4，5}，
∴∁U A＝{1，2}．
故答案为：{1，2}．
2．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为6π．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l＝αr＝×6＝2π，
根据扇形的面积公式可得S＝lr＝•2π•6＝6π．
故答案为：6π．
3．（4分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则其两条渐近线的夹角为900．
【解答】解：双曲线x2﹣y2＝11的两条渐近线的方程为：y＝±x，
所对应的直线的倾斜角分别为90°，
∴双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线的夹角为90°，
故答案为：90°．
4．（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n＝3．
【解答】解：（a+b）n展开式的二项式系数之和为2n＝8，则n＝3，
故答案为：3．
5．（4分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是[﹣，]．【解答】因为x2+y2＝1，所以可设x＝cosθ，y＝sinθ，
则xy＝cosθsinθ＝sin2θ∈[﹣，]
故答案为[﹣，]
6．（4分）若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于12πcm3．【解答】解：∵圆锥的高是4cm，母线长是5cm，
∴圆锥的底面半径为3cm，
∴圆锥的体积＝×π×32×4＝12πcm3．
故答案为：12πcm3．
7．（5分）在无穷等比数列{a
n}中，（a1+a2+……+a n）＝，则a1的取值范围是
．
【解答】解：因为无穷等比数列{a n}中，，所以|q|＜1，
＝，所以，∵﹣1＜q＜1且q≠0
∴0＜a1＜1且a1≠
故答案为：．
8．（5分）若函数f（x）＝ln的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A，则实数a的取值范围为[﹣1，0]．
【解答】解：∵＞0，∴（x+1）（x﹣1）＜0，∴﹣1＜x＜1，∴A＝（﹣1，1）；
∵B⊆A，∴，∴﹣1≤a≤0，
∴实数a的取值范围为[﹣1，0]．
故答案为[﹣1，0]．
9．（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y＝1+f （x）的零点是﹣1．
【解答】解：第3行第2列的元素的代数余子式A32＝﹣＝﹣4×2x+4×4x＝﹣2x+2（1﹣2x），
∴f（x）＝﹣2x+2（1﹣2x），
y＝1+f（x）＝1﹣2x+2（1﹣2x），
令y＝0，即2x+2（1﹣2x）＝1，
解得：2x＝，x＝﹣1
故答案为：﹣1．
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