高考数学考点知识专题讲解与练习
一元二次不等式在实际问题中的应用
学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．
知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1．理解题意，搞清量与量之间的关系；
2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题．
3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
预习小测 自我检验
1．不等式≥0的解集为________．
答案 {x|－1≤x<1}
解析 原不等式⇔
∴－1≤x<1.
2．不等式≤1的解集为________．
答案 {x|x≥1或x<0}
解析 ∵≤1，∴≥0，
∴∴x≥1或x<0.
3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最
低产量是________ 台．
答案 150
解析 y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
4．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的函数关系是y1＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的函数关系是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围是________________．
答案 {t|10≤t≤15，t∈N}
解析 日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)，
依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．
一、分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)<0； (2)≤1.
解 (1)<0⇔(2x－5)(x＋4)<0⇔－4<x<，
∴原不等式的解集为.
(2)∵≤1，∴－1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1.
解 (1)原不等式可化为
解得∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)方法一 原不等式可化为或
解得或
∴－3<x<－，
∴原不等式的解集为.
方法二 原不等式可化为>0，
化简得高考满分900>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－.
∴原不等式的解集为.
二、一元二次不等式的实际应用
例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．
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