薛凤祚《正弦》一书
2011年第6期
山东社会科学No．6总第190期SHANDONG SOCIAL SCIENCES General No．190
收稿日期：2011－03－03
作者简介：杨泽忠（1968—），山东肥城人，山东师范大学数学科学学院教授、博士，主要研究方向：数学史、数学教育。
①薛凤祚
：《正弦法原叙》。②梅文鼎
：《解八线割圆之根》，《兼济堂篆刻梅勿庵先生历算全书》，咸丰九年（1859）。③李俨
：《中算史论丛（第三集）》，科学出版社1954年版。薛凤祚《正弦》一书研究
杨泽忠
（山东师范大学数学科学学院，山东济南250014）
［摘要］《正弦》是薛凤祚的重要译著之一。深入分析此书中的内容、方法和数值等，可
以发现，尽管书中给出的内容稍显繁乱，但思路是明确的，方法是科学的，计算是正确的；书中
内容主要来自斯蒂文的《数学记忆》一书第一部分的第一卷
“正弦表制作方法”；薛凤祚在编译此书时并非墨守成规，而是在底本方法的基础上给出了一种更为合理和经济的新方法，以
精密快捷的计算推进了当时正弦函数造表方法的研究。
［关键词］薛凤祚；正弦；制作方法；三角函数
［中图分类号］
K23［文献标识码］A ［文章编号］
祚
1003－4145［2011］06－0044－07一、引言
在薛凤祚的《历学会通》中有《正弦》一卷。此书主要介绍了西方正弦函数表的做法，是薛凤祚和穆尼阁
的重要译著之一。薛凤祚在此书的序言中说：“天文各线皆圈线也，而各种取用之嫌，以方代圆，所差
甚微。
作法者殆疑神授，非人力也……往年予与穆先生重译于白下，今天学且竣，溯流穷源更授此学，弁诸法之
前。”①可是，长期以来却少有对此书的研究。仅有的个别研究得出的结论还是消极的，如清初历算名家杨作
枚曾说
：“薛青州做正弦解，亦仅依式推衍，未能有所发明。”②李俨也说：“（薛凤祚的做正弦表方法）大致本诸《大测》。”③此书是否真的如上所说？笔者在研读此书时发现并非如此，本文拟就这个问题做一阐述，以求教各位方家。
二、《正弦》的主要内容及科学性
《正弦》一书共分六部分，即：正弦解释；求间隔三度七十五分的正弦函数值；求间隔七十五分的正弦函数值；求间隔二十五分的正弦函数值；求间隔一分的正弦函数值；正余割和正余切函数，主要介绍了正弦函数的概念、几何意义和九十度以内值的算法，其它部分不及整个篇幅的十分之一。
其求正弦函数值依据的基本原理是单位圆内正弦函数的几何意义。文中作者说
：“各度数之弦即线之半……此作表之根。”文中使用的公式有五个，即：
1、cos α=1－sin 2槡α
2、sin （90－α）=cos α
3、sin α=
12（1－cos2α）2+sin 22槡α4、sin α－β2=（cos β－cos α）2+（sin α－sin β）槡2
5、α：sin α=β：sin β
文中给出的求九十度内正弦函数值的做法程序是：
首先，规定将圆半径分为10000000份，圆周分为90000（先分为90度，然后每度再分为100份）。利用44

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