1+2+3+4+···=-112？这个公式怎样被证明的以及物理学的应⽤
上两篇⽂章我们阐述和讨论了有关反物质的⼀些问题，也不能说全部吧，基本上把反物质带来的⼀些问题都涉及到了，有兴趣的朋友可以戳下⾯链接：
围剿反物质︱它为何消失？存在反光⼦吗？反物质能否产⽣反引⼒
今天不谈宇宙，我们将讨论⼀个数学问题：⽆限⾃然数的和是什么，放空思想，清理思维，开始⼀场数学之旅吧！
"有限如何把握⽆限？" —— 约翰·德莱顿
发散级数
⽆限的不⼀致性和奇异性使得数学充满了乐趣。如果你观察⽆穷级数1 + 2 + 3 + 4 +···，你会发现它的和不能给出⼀般意义上的⼀个确定的值，⽽是向⽆穷发散。这个级数叫做发散级数。发散级数本质上是⼀类⽆穷级数，其⽆穷序列的部分和没有有限极限。所以，为了更好地理解它我们来看看什么是部分和?
顾名思义，⼀个部分和是序列或数列中某个特定部分的总和。求和是从第⼀项到那个特定项的总和。为了更清楚⼀点，看看这个系列1 + 2 + 3 + 4 +····的部分和。
第⼀项(1) = 1
第⼀项+第⼆项(1+2) = 3
第⼀项+第⼆项+第三项(1+2+3) = 6
第⼀项+第⼆项+第三项+第四项(1+2+3+4) = 10
因此，序列1 + 2 + 3 + 4 +····的部分和为1，3，6，10，15...等等。那么，现在你⼀定已经理解什么是部分和了。
我们得到的部分总和也可以叫做三⾓数，因为它们可以排列成等边三⾓形
该特殊系列1 + 2 + 3 + 4 +···的第n个部分和由以下简单公式给出:
1 +
2 +
3 +
4 + + n = n(n+1)/2
从公式中很容易看出部分和的值趋向于+∞（正⽆穷）。因此这是⼀个发散级数。
收敛级数
当我们了解了发散级数，学习收敛级数也变得很重要。那么什么是收敛级数?看看这个数列:
正如你看到的，当你向级数的最后⼀项移动时，这⼀项变得越来越⼩，我们可以说它⽆限趋于零。⽽且它们的部分和趋于极限。这种级数叫做收敛级数。我们可以求出这类级数的定和。
⼀些⼩伙伴可能对此有所怀疑:⼀个包含⽆数项的数列怎么可能有⼀个确定的值呢？它应该是⽆限的，难道不对吗？(有这样的怀疑和疑问也不奇怪，因为伟⼤的古代哲学家芝诺，也被这个问题弄糊涂了。)事实上这个数列收敛到2 。让我告诉为什么会⽆限趋近于2。
•以下是该系列的视觉图像表现:
第⼀个正⽅形的⾯积+第⼆个正⽅形的⾯积= 2平⽅。
如图所⽰，我们有两个⽅块(每个⽅块1平⽅⽶)，⼀个是整体，其⾯积代表数列的第⼀项，即1，第⼆个正⽅形代表所有后⾯项的总和。如你所见，我们已经将第⼆个正⽅形分成了不同的部分：红⾊= 1/2，蓝⾊= 1/4，黄⾊= 1/8，绿⾊= 1/6等等。因此，以类似的⽅式，即使我们把第⼆个正⽅形分成⽆限多个部分，它们的⾯积之和仍然是1平⽅⽶。这就是这个级数所表⽰的，所以我们得到了答案2。
•如果你熟悉⼏何级数(你⼀定在⾼中读过)，这⾥有⼀个计算⽆穷⼏何级数的漂亮公式:
当-1 < r < 1时
[r是公⽐，a是第⼀项，在收敛级数中r = 1/2, a = 1]
因此，如果我们在⽆穷收敛级数中应⽤这个公式，我们会得到:
[显然-1 < 1/2 <1]
如果你还不有点不信，那么还有⼀个更简单的⽅法:
然后
现在从2Sn减去Sn我们得到，
当n趋于为⽆限⼤是S趋于2，是不是觉得很简单！我们谈论了⽆穷级数，现在让我们回到我们的⽆穷⾃然数数列，著名的斯⾥尼⽡瑟·拉马努⾦求和。
拉马努⾦⽆限⾃然数的和
什么是自然数虽然我们知道和1 + 2 + 3 + 4 +···是发散的，我们不到⼀个确定的值，但是拉马努詹开发了⼀种⽅法来计算这个表达式的值。
斯⾥尼⽡瑟·拉马努⾦是⼀个天才印度数学家，他⽣活在英国统治印度期间。虽然他没有接受过正规的纯数学训练，但他在数学分析、数论、⽆穷级数和连分数⽅⾯都做出了巨⼤的贡献，包括解决⼀些被认为是⽆法解决的数学问题
拉马努⾦发展了他⾃⼰的⽅法来解决这类⽆穷级数，⽤两种不同的⽅法求解了⽆穷⾃然数列，其中⽐较简单的⽅法如下图:
拉玛努詹的原始笔记本
所以，让我把整个式⼦再写⼀遍:
正如公式所⽰，拉马努⾦把这个系列作为常数c 减去c的4倍，要得到这样⼀个级数:1- 2 + 3 - 4 +····
但是他怎么会得到:1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +··· =1/（1+1）²，因为拉马努⾦知道:1-1+1-1+···=1/（1+1），⽽且
你现在可能有点困惑，这两个等式怎么成⽴，不要慌，让我们逐⼀讨论这两个新数列。
你现在可能有点困惑，这两个等式怎么成⽴，不要慌，让我们逐⼀讨论这两个新数列。
⾸先看看系列1–1+1–1+····这也是⼀个⽆穷级数并且不收敛。它也被称为格兰迪级数。因为这是⼀个发散级数，所以它缺少⼀个确定的和。如果我们按照下⾯的⽅法在级数中加上括号，我们会得到⼀个“0”:
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + = 0 + 0 + 0 + = 0
如果我们把括号放在稍微不同的地⽅，把第⼀项放在⼀边，我们就会得到答案“1”以下内容:
1+(1-1)+(1-1)+(1-1)+= 1+0+0+0+= 1
你会感叹，这么神奇的数列！这就是为什么这是也是⼀个收敛级数。然⽽，数学家对此系列还有⼀个奇怪的答案即
1/2。如果我们把这个级数当作收敛级数，并⽤我们的⼀般代数⽅法，我们会得到这个和的⼀个特殊答案:
s = 1-1+1-1+···
1-S = 1(1-1+1-1+···)= 1-1+1-1+···= S
1-S = S
1 = 2S，
因此，S =1/2
即1-1+1-1+···=1/2
也许拉马努⾦就是这样得到他的1/（1+1）。
让我们直接进⼊下⼀个系列，1 - 2 + 3 - 4 +···，看看会有什么结果。这也是⼀个发散的⽆穷级数，你可以看到它的部分和也不趋向于任何有限极限。这个系列⽐前⼀个更加复杂，即使通过Cesaro（塞萨罗）求和也⽆法解决。它需要⼀些更复杂的求和，⽐如阿贝尔求和。但有⼀些其他更简单的⽅法来显⽰这个总数。⼀种不太严格的⽅法，如下:
S =1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +····
0 + S = 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ····
2S =1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +····
这是我们刚才说的格兰迪数列，所以我们有，
有些⼈可能会说，我们不能在开头加上“0”。这与数学规则不⼀致。还有另⼀个可信的⽅法来证明这⼀点:
拉马努⾦写道:
1 -
2 +
3 -
4 + = 1/（1+1）^2
我们知道
1-1+1-1+····=1/（1+1）
所以我们可以写:
1-2+3-4+···=(1 - 1 + 1 - 1 +···)^2
= (1 - 1 + 1 - 1 +···)×(1 - 1 + 1 - 1 +···)
= (1 - 1 + 1 - 1 +···)×(1 - 1 + 1 - 1 +···)
你可能会想，我们怎么平⽅这个⽆限的格兰迪级数，它不是很复杂吗?确实如此，要到这个结果需要⽆限次的乘法和加法。我们试着⽤简单得多的⽅式来解释，看以下内容:
我们可以写，(1 - 1 + 1 - 1 +···)^2
并⽤以下⽅式直观地表⽰它:
如果你观察对⾓线上的阴影并把数字加起来，你会得到以下⼀数列:
1 -
2 +
3 -
4 +····
这就是我们如何写:
1 -
2 +
3 -
4 +····=(1 - 1 + 1 - 1 +···) ^2=1/（1+1）^2=1/4
在得到所有重要的结果之后，让我们回到拉马努⾦的总结和他的结果。现在你可以很容易地理解他是怎么写的：
因此，1 +2 + 3 +4 + …=-1/12
所以，看似不合逻辑的总和得到了证明。但是……
作业不能这样写！
这个结果可能看起来很神奇很有成就感，但是如果你把这个答案写在你的数学作业⾥，你可能会得到⼀个很⼤的0！
⼀般来说，把⽆穷级数当作有限和来处理是不正确的。在⽆限发散级数的任意位置加零可能导致结果
的不⼀致性。例如，步骤4c = 0 + 4 + 0 + 8 +···不符合加法恒等式。即使在级数的前⾯添加⼀个0(就像我们在1 - 2 + 3 - 4 +···中做的那样)也会导致不⼀致的结果。例如:
如果
1 + 2 + 3 + 4 +..= x (Ⅰ)
两边都加上0，
0 + 1 + 2 + 3 +..= 0 + x = x (Ⅱ)
由(Ⅰ)减去⽅程(Ⅱ)得到，
(1 - 0)+ (2 - 1)+ (3 - 2)+ (4 - 3)+···= (x - x)
1 + 1 + 1 + 1 +...= 0 (ⅲ)
现在两边同时加0，
0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +..= 0 + 0 (iv)
再从(iii)减去(iv)
1 + 0 + 0 + 0 +···= 0
即，1 = 0
这明显是⽭盾的，因此我们在⽆穷级数中任意位置加零的过程都是不正确的。
解决这个问题只有⼀个办法。我们可以通过对函数的依赖关系来约束插⼊零的位置，并跟踪序列中的每⼀项。例如，在1 + 2 + 3 + 4 +···系列中，每⼀项n都是⼀个数字，如果我们将n提升为⼀个函数n-s，其中‘s’是⼀个复变量，那么可以确定只添加了相似的术语。由此产⽣的系列可以⽤更合法的⽅式操纵。
通过使⽤解析开拓关于黎曼ζ函数（ζ函数正则化)我们可以扩展它的域来给出1 + 2 + 3 + 4 +=-1/12。让我们看看如何:
我们知道：
现在，通过将函数乘以2×2^-8我们得到：
如果我们⽤下⾯的⽅法进⾏减法运算，我们会得到:
因此，我们有
根据数学规则，这是完全可以的。通过分析延拓，我们可以把s= -1，然后我们会得到，
因此，我们以更严格的⽅式证明了结果。然⽽，拉玛努詹也发展了⾃⼰的公式来求解这些类型的⽆限发散级数。这种⽅法被称为拉马努⾦求和。
拉马努⾦在给G.哈迪写道: “亲爱的先⽣，我很⾼兴阅读你1913年2⽉8⽇的来信。我期待着你的回复，就像伦敦⼀位数学教授写的那样，要求我仔细研究布罗姆维奇的⽆穷级数，不要陷⼊发散级数的陷阱。我告诉他，根据我的理论，这个级数的⽆穷多个项之和:1+2+3+4+⋯= 1/12。如果我告诉你这些，你会⽴刻向我指出精神病院是我的⽬标。我详述这⼀点仅仅是为了让你相信，如果我在⼀封信中指明我前进的路线，你将⽆法遵循我的证明⽅法。……” 拉马努⾦，在他的给哈迪的第⼆封信，1913年2⽉27⽇
那么，这个结果有什么⽤？
这个结果在物理学的许多领域都很有⽤。例如，在玻⾊⼦弦理论中，结果被⽤来计算⽆限次量⼦谐振的总能量。这个事实也被⽤来说明弦理论在26维以外的维度上是不⼀致的。
1 +
2 +
3 +
4 +···的正则化也有助于计算⼀维标量场的卡西⽶尔⼒。-1/12的符号反映了卡西⽶尔⼒有吸引⼒。这⼀惊⼈的结果也可能在量⼦⼒学的其他领域以及未来更多领域得到应⽤
结论
所以，数学⾮常合乎逻辑，有时会给我们带来⼀些有悖常理的结果。要么是我们真的错了，要么我们的宇宙就是这样。有时数学会给我们⼀些奇怪的结果，科学家有时容易忽略这些数学假象，但现在有⼀点是肯定的，这个看似不合常理的数学公式在物理的许多计算中起到了⼀定的作⽤。斯⾥尼⽡瑟·拉马努⾦为数学的发展做出了重要的贡献。
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