第1讲：对数的认识的发展
【引言】一般地说，人们对“数”的认识是随着对“量”的认识发展而发展的。人们对数的认识的发展体现了实践与认识的辩证关系。“数表示量”是数的发展的线索。我们即将所学的数与前面所学的数相比，它可以表示相反意义的量。
【回顾】小学所学的各类数。
【实例】足球比赛中的净胜球问题；某天的气温表示问题；金属零件的误差范围问题；某企业的收入支出问题等。
一、有理数的概念的引入
1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
思考与注意：(1)正数还有没有其他的定义方式？
(2)正数前面的正号是否可以省略不写，即一个数前面有或没有正号是否影响该数的大小？
(3)思考正号与加号之间的区别与联系。
2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。
思考与注意：
(1)负数还有没有其他的定义方式？
(2)负数前面的负号能不能省略不写？即一个不等于零的数前面的负号是否影响了这个数的大小？
(3)思考负数与减号之间的区别与联系。
3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
注意：零的归属：零与正数统称为非负数，零与负数统称为非正数。
思考：(1)零还有哪些角？
(3)零前面的符号是否影响它的大小？
4、思考与拓展
(1)判断一个数是正数还是负数，是否只看前面有没有正号或负号？
答：
(2)正数与负数表示相反意义的量，它们因生活生产中的需要产生的，你能举出生活中用正数和负数表示的相反意义的量吗？
答：
5、有理数的概念：整数与分数统称为有理数。
注意：(1)此时的整数包括：正整数，0，负整数；分数包括：正分数与负分数。
(2)“统称”的含义为：任何整数与分数都是有理数，任何有理数要么是整数，要么是分数。
(3)正数中不仅含有正有理数，还含有其他的正数，负数类似。
例题1：
（1）―10表示支出10元，那么+50表示 ；
（2）如果零上5度记作5°C，那么零下2度记作 ；
（3）如果上升10m记作10m，那么―3m表示 ；
（4）太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米，可记作海拔 米（即低于海平面11034米）。
（5）比海平面高50m的地方，它的高度记作海拨 ；比海平面低30m的地方，它的高度记作海拨 。
例题2：有以下各对量，表示相反意义的有 。
（1）盈利200元与支出200元；（2）超出定额1万元与不足定额1元；
（3）零上5度与零下3度；（4）两场篮球比赛，一场比分为50：45，一场比分为45：50。
例题3：规律
（1）1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8， ， ， ，………；
（2） ， ， ，………；
（3）一组数：1，2，5，10，17，26，……，则这组的第10个数为 ；
请问：你能否写出上面三题中的第2010个数？
二、有理数的分类：
1、有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。
2、小数与分数关系
(1)小数包括：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数。而分数都可以转化成小数，分数只能转化成有限小数与无限循环小数，不能转化成无限不循环小数。因此：我们可以说：任意分数都是小数，而任意有限小数或无限循环小数都是分数，但不能说：任意小数都是分数。即分数与小数之间的关系为：
(2)有理数的一种重要分类：
3、思考一个问题：有理数还有没有其他定义方式？现在会不会定义无理数？
例题1：把下列各数填入相应集合的括号内：
29，―5.5，2002，，―1，90%，3.14，0，―2，―0.01，―2，1
（1）整数集合：{ }
（2）分数集合：{ }
（3）正数集合：{ }
（4）负数集合：{ }
（5）正整数集合：{ }
（6）负整数集合：{ }
（7）正分数集合：{ }
（8）负分数集合：{ }
（9）正有理数集合：{ }
（10）负有理数集合：{ }
例题2：(1)下列说法正确的是 。
①零是整数；②零是有理数；③零是自然数；④零是正数；⑤零是负数；⑥零是非负数。
⑦在有理数中，零的意义表示没有；⑧正有理数和负有理数组成全体有理数；
⑨0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数；⑩零是最小的非负整数，它既不是正数，又不是负数。
例题3： ―100不是（ ）A：有理数 B：自然数 C：整数 D：负有理数
例题4：判断：
（1）0是正数 （ ） （2）0是负数 （ ）
（3）0是自然数 （ ） （4）0是非负数 （ ）
（5）0是非正数 （ ） （6）0是整数 （ ）
（7）0是有理数 （ ） （8）在有理数中，0仅表示没有。 （ ）
（9）0除以任何数，其商为0 （ ） （10）正数和负数统称有理数。 （ ）
（11）―3.5是负分数 （ ） （12）负整数和负分数统称负数 （ ）
（13）0.3既不是整数也不是分数，因此它不是有理数 （ ）
（14）正有理数和负有理数组成全体有理数。 （ ）
例题5：无限循环小数是有理数，而有理数都能表示成分数的形式。尝试将：，写成分数的形式。
三、有理数的表示-数轴
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；
③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；
②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；
③确定向右为正方向，用箭头表示出来；
④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。
3.数形结合：数轴上一个点表示一个数，任何一个数都能用数轴上的一个点表示，即数轴上的点与数一一对应。学习数轴应具备两种能力：一是给数标点，二是给点标数。另外，通过数轴能理解点与点之间的关系同点所对应的数与数的关系之间的关系。
4．数轴的功能：（1）给数标点；（2）给点标数；（3）比较大小。
5．思考：（1）到原点的距离为2的点有几个，分别表示的数是什么？到1的距离为2的点有几个，分别表示的数是什么？
（2）数a到原点的距离是多少？数a，b之间的距离是多少？
例题1：判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？
例题2：借助数轴回答下列问题
(1)有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？如果有，把它指出来；
(2)有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，把它标出来。
例题3：比较下列各数的大小： (1)、―1.3，0.3，―3，―5 . (2)、3，0，，―4
例题4：长度为10的线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数为多少个？长度为n的线段呢？（n为一个正整数）
例题5：求出-3,2在数轴上对应的点之间的距离？-2003与2010呢？
【课堂练习】
1、（2009年绵阳市）如果向东走80 m记为80 m，那么向西走60 m记为 。
2、（2009山西省太原市）在数轴上表示的点离开原点的距离等于（ ）
3、（2009年桂林市、百市）下面的几个有理数中，最大的数是（ ）．
A．2 B． C．－3 D．
4、(2009年温州)在0，l，一2，一3．5这四个数中，是负整数的是( )
A．0 B．1 C．一2 D.一3.5
5、在数轴上的点A、B位置如图所示，则线段AB的长度为（ ）
A. -3 B. 5 C. 6 D. 7
6、某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为－8℃，那么这天的最高气温比最低气温高 ( )
Ａ.-10℃ Ｂ.-6℃ Ｃ.6℃ Ｄ.10℃
7、（2009年嘉兴市）实数x，y在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
8、（2009年山西省）10、实数在数轴上对应点的位置如图所示，则a b．（ 填“＞”“＜”或“＝”）
9、学校、书店和图书馆坐落在一条南北走向的大街上，书店位于学校边200米处，图书馆位于学校北边100米处，小红从学校沿街向南走了50米，接着又向北走了-150米，此时，小红的位置在（ ） A、书店 B、学校 C、图书馆 D、学校南100米
10、（1）距原点3个单位长度的点有____个，它所表示的有理数是_________。
（2）在数轴上，点自然数包括小数吗A表示的数是1，那么在数轴上与A相距3个单位长度的点表示的数是 。
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