第一章 因数和倍数
1.整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2.因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
（4）2、3、5的倍数特征
1） 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
3）个位上是0或5的数，是5的倍数。
4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
3.完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等
4.自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
关系： 奇数+偶数=奇数 奇数+ 奇数=偶数 偶数+偶数=偶数。
奇数-偶数=奇数 奇数-奇数=偶数 偶数-偶数=偶数
5.自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
0：最小的自然数 最小的偶数是自然数包括小数吗
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以内质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系： 奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数
6.最大、最小
一个数的最小因数是：1； 最小的奇数是：1；
一个数的最大因数是：A； 最小的偶数是：0；
一个数的最小倍数是：A； 最小的质数是：2；
最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；
7.分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）
8.互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7
两个合数的互质数：8和9
一质一合的互质数：7和8
两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质； ⑶两个质数一定互质；
⑷2和所有奇数互质； ⑸质数与比它小的合数互质；
9.公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）
几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的那个数就是它的最小公倍数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
10.公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
11.求最大公因数和最小公倍数方法
用12和16来举例
方法一：（列举求同法）
最大公因数的求法：
12的因数有：1、12、2、6、3、4
16的因数有：1、16、2、8、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法：
12的倍数有：12、24、36、48、…
16的倍数有：16、32、48、…
最小公倍数是48
方法二：（分解质因数法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：2×2=4 （相同乘）
最小公倍数是：2×2 × 3×2×2= 48 （相同乘× 不同乘）
同步练习
一.认真思考，对号入座
(1)在26、12和13这三个数中，( )是( )的倍数，( )是( )的因数，( )和( )是互质数。
(2)一个数，千位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，个位是最小的合数，其余数位上的数字是0，这个数写作( )。
(3)根据要求写出三组互质数。
两个数都是质数( )和( )。 两个数都是合数( )和( )。 两个数中一个数是质数，一个数是合数( )。
(4)一个数的最大因数是36 ，这个数是( )，它的所有因数有( )，这个数的最小倍数是( )。
(5)a=2×3×5，b=2×5×11，a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 A=2B,A是（ ）,（ ）的（），2和（ ）是（ ）的（ ）.
(6)把210分解质因数:45=( )。
(7)甲数除以乙数的商是15，甲乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
(8)一个两位数同时能被2、5、3整除，这个两位数最大是( )，最小是( )。
(9)把下面的合数写成两个质数和的形式。 15=( )+( ) 20=( )+( )=( )+( )
(10)如果2□4能被3整除，那么□里最小能填( )，最大能填( )。
(11)8和9的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
二.仔细推敲、辨析正误
(1)18÷9=2，我们就说18是倍数，9是因数。( )
(2)一个数的倍数一定比它的因数大。( )
(3)因为11和13是互质数，所以说11和13没有公因数。( )
(4)所有非零自然数的公因数是1。( )
(5)所有的偶数都是合数。( )
(6)两个奇数的和一定能被2整除。( )
(7)所有的奇数都是质数。（ ）
（8）所有的质数都是奇数（ ）
（9）自然数除了偶数，就是奇数。（ ）
（10）一个非0自然数至少有两个因数，无数个倍数。（ ）
三.反复比较、慎挑细选
(1)一个质数的因数有( )个。 ① 1 ② 2 ③ 3
(2)24是4和6的( )。 ① 公因数 ②公倍数 ③最小公倍数
(3)在100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是( )。 ① 95 ② 90 ③ 75
(4)从323中至少减去( )才能被3整除。 ①减去3 ②减去2 ③减去1
(5)20的质因数有( )个。 ① 1 ② 2 ③3
(6)下面的式子，( )是分解质因数。 ①54=2×3×9 ②42=2×3×7 ③15=3×5×1
四.出下列数中的合数，并把它们分解质因数。
20 29 45 53 91 102.
求下面各组数的最大公因数。
50和75 78和26 6和11 36、 54 和 6.
求下面各组数的最小公倍数。
15和20 35和42 24和36 60和75
二 分数的意义和性质
1.分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2.单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均
分什么就是单位“1”。）
3.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如的分数单位是。
4.分数与除法A÷B=（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如： 4÷5=
5.真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数：分子大于或等于分母的分数叫假分数。假分数≧1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1。
6.真分数＜1≤假分数 真分数＜1＜带分数
7.假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子， 如：
=10÷5=2 =21÷5=4
（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：
2= 2×4=8 （8作分子）
（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：
5= 5×5+1=26
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