地中海鲨鱼问题
地中海鲨鱼问题
摘要
自然界中存在捕食者与被捕食者系统。这表示两个物种或多个物种之间的既相互制约又相互依存的自然法则。
本文首先建立了鲨鱼数量在战争前期和战争期间的增长比例模型。考虑到外界因素不同，模型分为鲨鱼（捕食者）与食用鱼（食饵）在自然条件下战争前、战争期间的比较模型，还有鲨鱼（捕食者）、食用鱼（食饵）在人工捕获条件下战争前、战争期间比较模型。采用解微分方程组的方法分别求出战争前、战争中两种条件下鲨鱼（捕食者）与食用鱼（鱼饵）的增长比例之间的关系。
由意大利著名生物学家（volterra）建立的系列数学模型。食用鱼一多，鲨鱼容易得到食物，鲨鱼的数量就会增加。而由于鲨鱼的数量增加，会吃掉大量的食用鱼，食用鱼的数量减少，鲨鱼缺少食物，鲨鱼的数量就会减少，而食用鱼天敌数量减少，食用鱼的数量就会增加，就这样，食用鱼鲨鱼的数量交替增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡。
由于战争中人对食用鱼的捕获量减少，鲨鱼食物增多，战争中鲨鱼的比例比战争前要高。
关键词：捕获量百分比，Lotka-Volterra模型， 非线性模型。
问题重述
意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表）。而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵—捕食系统的数学模型定量地回答这个问题.
年代
1914
1915
1916
1917
1918
1919
1920
1921
1922
1923
百分比
11.9
21.4
22.1
21.2
36.4
27.3
16.0
15.9
14.8
19.7
模型假设
食饵由于捕食者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正比；
捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长，假定增长的程度与食饵数量成正比。
符号说明
—食饵在时刻的数量；—捕食者在时刻的数量；
—食饵独立生长的增长率；—捕食者独立存在的死亡率；
—捕食者掠取食饵的能力；—食饵对捕食者的供养能力；
—捕获能力系数；
问题分析
战争给人们的生活带来了很多不可磨灭的记忆，同时也会给我们的生活带来不便，战争的到来，征召了许多身强体壮的劳动力去打仗，没有业余的工夫去打鱼，这就造成了鱼类的
大量繁殖和生长，同时，捕食者也因为有充足的食饵而得到繁殖和生长。这种情况就会给鱼类一段黄金生长期。但是战争结束后，这种情况就会因为渔民的再度打渔而被打破。
鱼类的繁殖和生长符合达尔文的自然选择学说，所以它不会肆意的疯长，总会有天敌和种内面的竞争而被淘汰一部分，而实现优胜略汰的目的，实现种的优质成长和发展。
模型的建立与求解
模型（一）不考虑人工捕获
该模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是提出的最简单的模型。
针对一组具体的数据用软件进行计算。
设食饵和捕食者的初始数量分别为对于数据
的终值经试验后确定为15，即模型为：
首先，建立文件见附表：
其次，建立主程序见附表：
求解结果：
数值解如下图：为实线，为“*”线。  相图为：
           
左图反映了与鲨鱼有天敌吗的关系:食饵的量增加，捕食者也随之增加；食饵的量减少，捕食者也随之减少。
可以猜想：与都是周期函数：反映出了食饵和捕食者之间出现着周期性关系。
模型（二）考虑人工捕获
设表示捕获能力的系数为，相当于食饵的自然增长率由降为，捕食者的死亡率由增为
仍取
设战前捕获能力系数，战争中降为，则战前与战争中的模型分别为：
     
模型求解：
首先，建立文件和见附表：
其次，建立主程序见附表：
求解结果：
注：绿*线表示战前的情况，蓝线表示战争中的情况。
结论：战争中鲨鱼的比例比战前高。
六  模型评价
1）模型优点：
（1）模型考虑的因素合理。本文模型针对地中海鲨鱼在战争中比战争前高这一事实，做了合理的假设：即，人工捕获鱼类和没有人工捕获鱼类对其影响。本文为寻求答案，大胆的作了这两个小模型以作对比，证明战争对鲨鱼的影响。

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