朗兰兹纲领:数学中的大统一理论
朗兰兹纲领：数学中的⼤统⼀理论
数学家⼀直想要寻质数的规律。质数就像是数论的原⼦元素, 是算法研究的基础。它们的数量是⽆限的, 但它们的分布却似乎是随机地散落在数位中。为了到质数中的规律, ⽐如它们出现的频率, 数学家必须将它们与其他事物联系起来。准确说来, 质数就像⼀个密码, 当你到正确的阅读密钥时, 它就变成了令⼈愉悦的信息。质数看起来⾮常随机, 但通过朗兰兹纲领, 就会发现它们有着⼀个⾮常复杂的结构, 能够与各种其他事物联系起来。
2018 年3 ⽉20 ⽇, 挪威科学与⽂学院宣布, 『2018 年度的阿贝尔(Abel) 奖』授予普林斯顿⾼等研究院的罗伯特·朗兰兹(Robert Langlands), 以表彰他提出了连接表⽰论和数论的极具远见的纲领。他所提出来的『朗兰兹纲领』试图构建数学中的⼤统⼀理论, 这是⼀代代数学家所追求的⽬标。
罗伯特. 朗兰兹, 加拿⼤数学家, 普林斯顿⾼等研究院的荣誉退休教授、加拿⼤皇家学会会员、伦敦皇家学会会员。其在⾮交换调和分析、⾃守形式理论和数论的跨学科领域进⾏深⼊研究, 得出把它们统⼀在⼀起的朗兰兹纲领, 并⾸先证明GL(2) 的情形, 这个纲领推⼴了阿贝尔类体论、赫克(Hecke) 理论、⾃守函数论以及可约的表⽰理论等。朗兰兹荣获美国数学会科尔奖、美国国家科学院⾸届数学奖以及沃尔夫奖、邵逸夫奖数学科学奖、阿贝尔奖等众多国际⼤奖。
朗兰兹1936 年10 ⽉6 ⽇出⽣于加拿⼤不列颠哥仑⽐亚的新威斯敏斯特。1953 年, 进⼊英属哥伦⽐亚⼤学学习, 1957 年, 获学⼠学位, 1958 年, 获硕⼠学位。随后, 他赴美在耶鲁⼤学学习, 1960年获博⼠学位, 同年被任命为讲师。后来, 在普林斯顿⼯作。朗兰兹所提出的朗兰兹纲领探讨的是现代数学中的两⼤⽀柱『数论与调和分析』之间的深层联系。数论研究的数字之间的算法关系, 被认为是『最纯』的数学领域; 调和分析是数学的⼀个重要分⽀, 研究及扩展富⽒极数及富⽒变换。之前, 这两个领域被认为是毫⽆关联的, ⽽它们之间的联系其实有着深远的影响, 被数学家⽤来解答与质数性质有关的问题。同时, 朗兰兹纲领提出了数论中的伽罗⽡(Galois) 表⽰与分析中的⾃守型之间的⼀个关系⽹。
1. ⾼深莫测的『朗兰兹纲领』
有⼀个与质数结构相关的问题是: 『哪些质数能⽤两个质数的平⽅和表⽰。』在17世纪, 数论学家发现, 所有能⽤两个质数的平⽅和表⽰的质数都有⼀个共同性质, 当它们除以4 时, 余1。这⼀发现揭⽰了质数
的⼀种隐藏结构。到了18 世纪末期, 数学家⾼斯(Gauss) 对这⼀奇妙的关联进⾏了概括, 它的『互反律』⽤公式将那些等于两个质数的平⽅和的质数, 与除以4 余1这个特征联系了起来。在朗兰兹的信中, 他在⾼斯发现的互反律基础上, 提出了更⼴泛的延伸。
⾼斯的定律适⽤于指数不⾼于2 的⼆次⽅程。但朗兰兹认为, 在三次、四次等⾼阶⽅程中产⽣的质数, 应该与调和分析成互反关系。朗兰兹纲领就将多项式⽅程的质数值与分析和⼏何学中研究的微分⽅程的谱相联系到⼀起, 并认为这两者之间应该存在互反关系。因此, 我们应该能通过了解哪些数字出现在相应的光谱中, 来表⽰哪些质数出现在特定的情况中。
1967 年, 朗兰兹⾸次阐述了这⼀构想, 当时年仅30 岁的朗兰兹在⼀封写给著名数学家安德烈·韦伊(Andr´e Weil) 的信中提到了这⼀计划, 这是⼀个思考数学的全新⽅式。在这封17页长的信中，他谦和的写道: 「如果您愿意把它看作是纯粹的推测, 我会很感激; 如果不愿意, 我相信您⾝边就有⼀个废纸篓。」从那时起, ⼀代⼜⼀代的数学家开始接受并扩展了他的构想。现在, 朗兰兹纲领所涵盖的领域⾮常多, 因此通常被认为是数学界的『⼤统⼀理论』。就数学史⽽⾔, 这可以说是⾰命性的。
1979 年, 朗兰兹发展了⼀项雄⼼勃勃的⾰命性理论, 将数学中的两⼤分⽀数论和论之间建⽴了新的联系。通过⼀系列的推测和分析, 发现了与涉及整数的公式有关的不可思议的对称性, 并以此提出『朗兰兹纲领』。朗兰兹知道, 证明⾃⼰理论⽴基的假设这项任务需要⼏代⼈的共同努⼒,
⽽证明『基本引理』将是证明这项假设的合理跳板。他和同事以及学⽣虽然能够证明这⼀基本定理的特殊情况, 但证明普通情况所⾯临的挑战却⼤⼤超出他的预想。这项难度极⾼的⼯作整整历时30 年才由数学家吴宝珠(Ngoˆ Ba´o Chaˆu) 证明完成。
朗兰兹纲领是当今数学领域⾮常活跃的研究⽅向, 它联系了三种来源各异的数学对象: 伽罗⽡表⽰(算术对象)、⾃守表⽰(分析对象) 和代数簇的各种上同调理论(⼏何对象), 使得相应的三种不变量[阿廷(Artin) L函数、⾃守L 函数、哈斯-威尔(Hasse-Weil) L 函数]相匹配。这三⼤领域的结合为数论问题提供了有⼒的杠杆, 怀尔斯(Wiles)、泰勒(Taylor) 等证明的⾕⼭-志村(Taniyama-Shimura) 猜想便是⼀个范例。朗兰兹纲领的核⼼问题是函⼦性(functoriality) 猜想, 蕴含了很多著名的猜想, 如阿廷猜想、拉马努⾦(Ramanujan) 猜想、佐藤-塔特(Misaki-Tate) 猜想等。其中, 迹公式是研究朗兰兹纲领的⼀个重要⼯具。可见, 研究朗兰兹纲领的团队需要数论、代数、李表⽰论和代数⼏何专长的研究⼈员。
如今, 研究朗兰兹纲领的数学家正试图证明这种关系以及其他许多相关的猜想。与此同时，他们正在⽤朗兰兹型的联系来解决那些本看似遥不可及的问题。其中最著名的成果是数学家安德鲁．怀尔斯在20世纪90年代初对费马⼤定理的证明。怀尔斯的证明部分取决于朗兰兹早在⼏⼗年前就预⾔过的数论和分析之间的关系。1996年, 怀尔斯和罗伯特·朗兰兹分享了10万美元的沃尔夫奖。朗兰兹提出的朗兰兹纲领, 是⼀个使数学各领域之间证明统⼀化的猜想, ⽽怀尔斯通过对⾕⼭-志村猜想的证明, 将椭圆曲线和模形式统⼀了起来, 这个成功为朗兰兹纲领注⼊了⽣命⼒, ⼀个领域中的问题可以通过并⾏领域中的
对应问题来解决, 这是⼀个可能使数学进⼊⼜⼀个解决难题的黄⾦时期的突破性⼯作。
另外, 越南数学家吴宝珠试图⽤公式表述⼀项有关基本引理的精巧证法, 终于在2009年证明了其正确性, 全世界的数学家终于可以松⼀⼝⽓。在这⼀领域, 数学家过去30年的⼯作就是本着这样⼀种原则进⾏研究, 即基本引理是正确的并且将在未来的某⼀天得到证明。谈到未来，吴宝珠说:「我只是证明了纲领的基本引理, 不是整个纲领。我们的下⼀个⽬标是整个朗兰兹纲领, 基本引理只是它的基础，是其中⼀座⼩⼭峰。爬过这座⼭峰后, 现在可以瞭望朗兰兹纲领了。前⾯是⼀座⼤⼭, 我们的问题是如何爬上去。其中⼀件事是朗兰兹回来了, 他将为我们指⽰解决整个纲领的新路线。我认为, 整个纲领也许需要我⼀⽣的时间。」
事实上, 朗兰兹纲领是数学中⼀系列影响深远的构想, 联系数论、代数⼏何与约化表⽰理论。这些年来, 朗兰兹纲领已取得巨⼤的扩展。然⽽, 当抛开那些为了实现朗兰兹的构想⽽建⽴的复杂系统时, 会发现激励这个庞⼤构想最初动⼒的仍是最基本的数学问题。理解⽅程中出现质数的性质, 基本上就等同于对算术世界的基本分类。
2. 朗兰兹, 摘取数学巨奖『阿贝尔奖』
为什么朗兰兹纲领是数学的⼤⼀统理论? 朗兰兹纲领是⼀个很⼴阔的问题, 有许多数学专家⼯作于此。朗兰兹纲领的思想已经渗透到许多数学领域中, 所以, 有⼈钻研数论, 或调和分析，或⼏何，或数学物理
研究不同的对象, 但是发现了相似的现象。朗兰兹凭借其数学才华与远见卓识, 看到了数学世界中的很⼤⼀部分内容能够以⼀种完全意想不到的⽅式联系在⼀起。他告诉⼈们, 代数中的基本对象跟分析中同样基本的对象牢牢地栓在⼀起。⼀⽅⾯, 存在着决定数和代数⽅程如何运作的基本数学事实; 另⼀⽅⾯, ⼜存在着决定函数和微分⽅程性质的基本事实。因此, 朗兰兹提出的这两类对象之间的关系提供了统⼀数学的原则, 这是有深远意义的。
3⽉前, 挪威科学与⽂学院宣布『2018 年度的阿贝尔奖』授予朗兰兹。何谓阿贝尔奖? 阿贝尔奖是⼀项挪威设⽴的数学界⼤奖。每年颁发⼀次。2001 年, 为了纪念2002 年挪威著名数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔⼆百周年诞⾠, 挪威政府宣布将开始颁发此种奖⾦。⾃2003 年起,⼀个由挪威⾃然科学与⽂学院的五名数学家院⼠组成的委员会负责宣布获奖⼈。奖⾦的数额⼤致同诺贝尔奖相近。设⽴此奖的⼀个原因也是因为诺贝尔奖没有数学奖项。2001 年, 挪威政府拨款2 亿挪威克朗作为启动资⾦。扩⼤数学的影响, 吸引年轻⼈从事数学研究则是设⽴阿贝尔奖的主要⽬的。2003 年3 ⽉23 ⽇, 第⼀个获奖⼈名宣布, 六⽉奖⾦第⼀次正式颁发。
翻开近世数学的教科书和专门著作, 阿贝尔这个名字是屡见不鲜的: 「阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分⽅程、阿贝尔、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性等等。」很少⼏个数学家能使⾃⼰的名字同近世数学中这么多的概念和定理联系在⼀起。16 岁那年, 他遇到了⼀个能赏识其才能的⽼师霍姆伯(Holmboe) 介绍他阅读⽜顿(Newton)、欧拉(Euler)、
拉格朗⽇(Lagrange)、⾼斯的著作。⼤师们不同凡响的创造性⽅法和成果, ⼀下⼦开阔了阿贝尔的视野, 把他的精神提升到⼀个崭新的境界, 他很快被推进到当时数学研究的前沿阵地。后来他感慨地在笔记中写下这样的话: 「要想在数学上取得进展, 就应该阅读⼤师的⽽不是他们的门徒的著作」。阿贝尔在五次⽅程和椭圆函数研究⽅⾯远远的⾛在当时研究⽔平的前⾯, 但因学术始终⽆法得到承认⽽贫病交加, 27 岁不到就染上去世。法国
数学家埃尔⽶特(Hermite) 曾感叹地说: 「阿贝尔所留下的思想, 可供数学家们⼯作150年。」
近年来, 阿贝尔奖获奖者分别是: 2013年, ⽐利时数学家德利涅(Deligne), 以嘉奖其对代数⼏何的开创性贡献及其对『数论』、『表⽰论』及相关领域的『变⾰性』影响。2014 年, 俄罗斯数学家雅科夫．西奈(Yakov G. Sinai), 以表彰其在动⼒系统、遍历性理论以及数学物理学⽅⾯所作出的卓越贡献。2015 年, 美国数学家约翰·纳什(John Nash) 和刘易斯·尼伦伯格(Louis Nirenberg)，以表彰他们在⾮线性偏微分⽅程⽅⾯所作出的卓越贡献。2016 年, 英国数学家安德鲁·怀尔斯, 以表彰他在证明费马⼤定理⽅⾯所作出的卓越贡献。2017 年, 法国数学家伊夫·梅耶尔(Yves Meyer), 以表彰他在⼩波分析理论发展⽅⾯做出的重要贡献。2018年, 加拿⼤数学家罗伯特·朗兰兹, 以表彰他提出了连接表⽰论和数论的极具远见的纲领。
数学打开了⼀扇门, 让我们了解如何打破传统的壁垒, 如何在追求真理的过程中充分发挥想象⼒。⽆穷
理论的创⽴⼈格奥尔格·康托尔(Georg Cantor) 说: 「数学的精义在于蕴藏其中的⾃由。」数学教我们⼤胆分析现实, 研究事实, 并以事实为指引义⽆反顾地朝前迈进。数学把我们从教条与偏见中解放出来, 并帮助我们培养创新突破的能⼒。正因为这些, 数学才得以代代相传, 延续⾄今。如前所述, 在1967 给数学家安德烈·韦伊的信中, 数学家朗兰兹提出⼀个著名的猜想, 现称为朗兰兹互反猜想。这个猜想后演变成朗兰兹纲领, 在过去⼏⼗年对数学的发展产⽣了极⼤的影响。
⾃提出以来, 朗兰兹纲领的影响近年来与⽇俱增, 与它有关的每⼀个新的进展都被看作是重要的成果。特别是, ⾃从1990 年以来, 有3 位数学家的⼯作因为部分解决了朗兰兹纲领中的猜想, 从⽽获得了菲尔兹奖, 这⾜以看出朗兰兹纲领的重要性。第⼀位因为研究朗兰兹纲领⽽获得菲尔兹奖的数学家是乌克兰数学家弗拉基⽶尔·德林费尔德(Vladimir Drinfeld)。由于他在朗兰兹纲领和量⼦这两个领域取得了决定性的突破并促进了⼀⼤批研究的进展, 他于1990 年获得菲尔兹奖。第⼆位因为研究朗兰兹纲领⽽获得菲尔兹奖的数学家是洛朗·拉佛阁(Laurent Lafforgue)。他在朗兰兹纲领研究⽅⾯取得了巨⼤的进展, 他证明了与函数体情形相应的整体朗兰兹纲领, 于2002 年获得了菲尔兹奖。拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领, 对更抽象的所谓函数体⽽⾮通常的数体情形提供了这样⼀种完全的理解。第三位因为研究朗兰兹纲领⽽获得菲尔兹奖的数学家是之前提及的越南数学家吴宝珠。『通过引⼊新的代数-⼏何学⽅法, 吴宝珠证明了朗兰兹纲领⾃守形式中的基本引理』, 该成果于2009 年被美国《时代》周刊列为年度⼗⼤科学发现之⼀。2010 年8 ⽉19 ⽇, 在印度海得拉巴市召开的第26 届国际数学家⼤会上, 吴宝珠因证明朗兰兹纲领的基本引理获得国际数学界⼤奖『菲尔兹奖』。
代数、⼏何、数论、分析与量⼦物理等领域的研究内容乍⼀看似乎相去甚远, 但是朗兰兹纲领却在这些不同的数学分⽀之间建⽴起千丝万缕的联系。如果我们把这些分⽀看成数学这个秘密世界中的⼀块块⼤陆, 朗兰兹纲领就是功能强⼤的运输⼯具, 可以让我们在各个⼤陆之间瞬时往返。
3. ⼀座美丽的桥梁, 沟通数学核⼼分⽀
在数学中, 被称为『纲领』的成果屈指可数, 出名的仅有爱尔兰根(Erlanger) 纲领、希尔伯特(Hilbert) 纲领和朗兰兹纲领这三个。爱尔兰根纲领和希尔伯特纲领是19 世纪末⾄20世纪初的产物, 它们在数学史上都产⽣了重要的作⽤, 影响了数学相关领域很长的时间。⽽朗兰兹纲领, 它诞⽣于20 世纪60 年代, 它的诞⽣已经引领了数学发展40 余年, 并且仍将继续引领着数学的发展。其实, 我们认识数学基本上都是从整数开始的, 然后是简单的⼏何与多项式⽅程。⼀个最古⽼的数学分⽀: 数论, 就是研究整数的。整数中间有⽆穷的魅⼒、奥秘和神奇, 始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者。著名的问题包括哥德巴赫(Goldbach) 猜想、孪⽣素数猜想、费马(Fermat) ⼤定理等。⼏何, 同样是最古⽼的数学分⽀。古希腊⼈对直线、圆周以及圆锥曲线的研究到后来发展成为代数⼏何, 这个分⽀专门研究多项式⽅程对应的图形。过去⼀百多年来, 代数⼏何的发展⾮常迅速, ⼤家辈出, 在数学其他分⽀和数学物理中都有很深刻的应⽤。已获菲尔兹奖的数学家中约三分之⼀的⼯作与代数⼏何有关。然⽽, 论的产⽣只有⼀百多年, 源于多项式⽅程的求根公式。⼈们很早就会解⼀元⼀次⽅程和⼀元⼆次⽅程, ⼀元三次⽅程和四次⽅程的公式解在⼗六世纪被到。⼀个重要的数学分⽀『论』在探索⽅程的根式解的过程中诞⽣了。
⽅程是否有根式解与相应的是否可解为⼀回事。论的诞⽣改变了数学的⾯貌, 影响⼏乎遍及整个数学, 在物理和化学及材料科学中有很多的应⽤, 是研究对称的基本⼯具。
诺贝尔为什么没有数学奖如之前所述, 朗兰兹纲领指出这三个相对独⽴发展起来的数学分⽀: 数论、代数⼏何和表⽰论，实际上是密切相关的, ⽽连接这些数学分⽀的纽带是⼀些特别的函数, 被称为L-函数。
L-函数可以说是朗兰兹纲领的中⼼研究对象。数学界著名的七个『千禧年⼤奖问题』中有两个就是关于L-函数的, 分别是黎曼(Riemann) 假设和BSD 猜想。
朗兰兹提出了怎样对⼀般的简约的⾃守表⽰定义⼀些L-函数, 并猜测⼀般线性⾃守表⽰的⼀些L-函数跟来⾃数论的伽罗⽡的⼀些表⽰的L-函数是⼀样的。这个猜想被朗兰兹本⼈和其他数学家进⼀步拓展、细化, 逐渐形成了⼀系列揭⽰数论、代数⼏何、表⽰论等学科之间深刻联系的猜想。朗兰兹纲领就是对这些猜想和相关问题的研究。
特别地, 拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领, 对更抽象的所谓函数体⽽⾮通常的数体情形提供了这样⼀种完全的理解。我们可以将函数体设想为由多项式的商组成的集合, 对这些多项式商可以像有理数那样进⾏加、减、乘、除。拉佛阁对于任意给定的函数体建⽴了其伽罗⽡表⽰和与该体相伴的⾃守型之间的精确联系。拉佛阁的研究是以1990 年菲尔兹奖获得者弗拉基⽶尔·德林费尔德的⼯作为基础, 后者在20 世纪70 年代证明了相应的朗兰兹纲领的特殊情形。拉佛阁⾸先认识到德林费尔德的⼯作可
以被推⼴⽽为函数体情形的相应的朗兰兹纲领提供⼀幅完整的图像。在这⼀⼯作的过程中, 拉佛阁还发现了⼀种将来可能被证明是⼗分重要的新的⼏何构造，所有这些发展的影响正在波及整个数学。
朗兰兹纲领是对现在数学诸多领域⼀种统⼀性的看法和普遍性的观点, 由⼀系列规模宏⼤的猜想所组成, 其中有些猜想甚⾄还没有形成明确的数学语⾔。朗兰兹纲领还有很多的各种各样的推⼴,⽐如说⼏何朗兰兹纲领可能和物理关系更密切⼀点, 还有p'-adic 的朗兰兹纲领和数论的关系更加密切⼀点这⾥还有很多的问题等等⼤家去探索。朗兰兹纲领是数学中⼀系列影响深刻的构想, 联系了数论、代数⼏何以及表⽰理论。依靠朗兰兹纲领, 数学家在⼀个领域不能解决的问题, 可以在其他领域证明解决。⽽如果在另⼀个领域内仍然难以到答案, 那么可以把问题再转换到下⼀个数学领域中, 直到它被解决为⽌。所以, 朗兰兹纲领是21 世纪最⼤的数学难题, 也是未来最有潜⼒的研究领域!

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