第六章 万有引力与航天
7.万有引力与重力的关系：
(1)“黄金代换”公式推导：
当时，就会有。
(2)注意：①重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有引力。
②只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。
③重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
④随着纬度的增加，物体的重力减小，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
⑤物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略的计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金代换”公式。
8.万有引力定律与天体运动：
运动性质：通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。
从力和运动的关系角度分析天体运动：
天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时刻改变，其所需的向心力由万有引力提供，即F需=F万。如图所示，由牛顿第二定律得：
，从运动的角度分析向心加速度：
（3）重要关系式：
2、地球绕太阳公转的角速度为ω1，轨道半径为R1，月球绕地球公转的角速度为ω2，轨道半径为R2，那么太阳的质量是地球质量的多少倍？
解析：地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力，月球与地球的万有引力提供月球运动的向心力，最后算得结果为。
9.计算大考点：“填补法”计算均匀球体间的万有引力：
谈一谈：万有引力定律适用于两质点间的引力作用，对于形状不规则的物体应给予填补，变成一个形状规则、便于确定质点位置的物体，再用万有引力定律进行求解。
模型：如右图所示，在一个半径为R，质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖出一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？
万有引力常数思路分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解。
根据“思路分析”所述，引力F可视作F=F1+F2：
则挖去小球后的剩余部分对球外质点m的引力为。
[能力提升]某小报登载：×年×月×日，×国发射了一颗质量为100kg，周期为1h的人造环月球卫星。一位同学记不住引力常量G的数值且手边没有可查的材料，但他记得月球半径约为地球的，月球表面重力加速度约为地球的，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证方案。(地球半径约为6.4×103km)
证明：因为G＝mR，所以T＝2π，
又G＝mg得g＝，故Tmin＝2π＝2π＝2π
＝2π＝2πs＝6.2×103s≈1.72h。
环月卫星最小周期约为1.72h，故该报道是则假新闻。
§6-3 由“万有引力定律”引出的四大考点
1、解题思路——“金三角”关系：
（1）万有引力与向心力的联系：万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，即是本章解题的主线索。
（2）万有引力与重力的联系：物体所受的重力近似等于它受到的万有引力，即为对应轨道处的重力加速度，这是本章解题的副线索。
（3）重力与向心力的联系：为对应轨道处的重力加速度，适用于已知g的特殊情况。
2、天体质量的估算
模型一：环绕型：
谈一谈：对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，利用引力常量G和环形卫星的v、ω、T、r中任意两个量进行估算（只能估计中心天体的质量，不能估算环绕卫星的质量）。
①已知r和T:
②已知r和v:
③已知T和v:
模型二：表面型：
谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量），可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力进行粗略估算。
变形：如果物体不在天体表面，但知道物体所在处的g，也可以利用上面的方法求出天体的质量：
处理：不考虑天体自转的影响，天体附近物体的重力等于物体受的万有引力，即：
[触类旁通]1、(2013·福建理综，13)设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( A )
A．GM＝ B．GM＝ C．GM＝ D．GM＝
解析：本题考查了万有引力在天体中的应用。是知识的简单应用。由＝mr可得
GM＝，A正确。
2、(2013·全国大纲卷，18)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km。利用以上数据估算月球的质量约为( D )
A．8.1×1010kg B．7.4×1013kg C．5.4×1019kg D．7.4×1022kg
解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用。解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心力是由月球对卫星的万有引力提供。由G＝mr得M＝，又r＝R月＋h，代入数值得月球质量M＝7.4×1022kg，选项D正确。
3、宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。
解析：在该星球表面平抛物体的运动规律与地球表面相同，根据已知条件可以求出该星球表面的加速度；需要注意的是抛出点与落地点之间的距离为小球所做平抛运动的位移的大小，而非水平方向的位移的大小。然后根据万有引力等于重力，求出该星球的质量。
3、天体密度的计算
模型一：利用天体表面的g求天体密度：
物体不在天体表面：
模型二：利用天体的卫星求天体的密度：
4、求星球表面的重力加速度：
在忽略星球自转的情况下，物体在星球表面的重力大小等于物体与星球间的万有引力大小，即：
[牛刀小试]（2012新课标全国卷，21）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( A )
A．1－ B．1＋ C. D.
解析：设地球的质量为M，地球的密度为ρ，根据万有引力定律可知，
地球表面的重力加速度g＝，地球的质量可表示为M＝πR3ρ
因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为
M′＝π(R－d)3ρ，解得M′＝()3M，则矿井底部处的重力加速度g′＝，所以矿井底部处的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比＝1－，选项A正确
§6-4 宇宙速度 & 卫星
1、涉及航空航天的“三大速度”：
（一）宇宙速度：
1.第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面附近的环绕速度，v1=7.9km/s。它是近地卫星的运行速度，也是人造卫星最小发射速度。（待在地球旁边的速度）
2.第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去的最小速度，v2=11.2km/s。（离弃地球，投入太阳怀抱的速度）
3.第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳以外的宇宙空间去的最小速度，v2=16.7km/s。（离弃太阳，投入更大宇宙空间怀抱的速度）
（二）发射速度：
1.定义：卫星在地面附近离开发射装置的初速度。
2.取值范围及运行状态：
①,人造卫星只能“贴着”地面近地运行。
②，可以使卫星在距地面较高的轨道上运行。
③,一般情况下人造地球卫星发射速度。
（三）运行速度：
1.定义：卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的线速度。
2.大小：对于人造地球卫星，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行的环绕速度，其大小随轨道的半径r↓而v↑。
3.注意：①当卫星“贴着”地面飞行时，运行速度等于第一宇宙速度；②当卫星的轨道半径大于地球半径时，运行速度小于第一宇宙速度。
[牛刀小试]1、地球的第一宇宙速度约为8 km/s，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的
1.5倍。该行星上的第一宇宙速度约为( A )
A．16 km/s B．32 km/s C．46 km/s D．2 km/s
解析：由公式m= G，若M增大为原来的6倍，r增大为原来的1.5倍，可得v增大为原来的2倍。
2、两种卫星：
（一）人造地球卫星：
1.定义：在地球上以一定初速度将物体发射出去，物体将不再落回地面而绕地球运行而形成的人造卫星。
2.分类：近地卫星、中轨道卫星、高轨道卫星、地球同步卫星、极地卫星等。
3.三个”近似”：
①近地卫星贴近地球表面运行，可近似认为它做匀速圆周运动的半径等于地球半径。
②在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为地球对它的万有引力等于重力。
③天体的运动轨道可近似看成圆轨道，万有引力提供向心力。
4.四个等式：
①运行速度：。
②角速度：。
③周期：。。
④向心加速度：。
（二）地球同步卫星：
1.定义：在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的卫星。
2.五个“一定”：
①周期T一定：与地球自转周期相等（24h），角速度ω也等于地球自转角速度。
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