演化博弈论简介
演化博弈论简介
丁丁1994年有一篇重要的文章，介绍发展经济学的最新进展。他比较了诺斯（North）的制度变迁理论，罗默（Romer），卢卡斯（Lucas）等的内生增长理论，哈耶克的“自发秩序论”，重复博弈和演化博弈论等理论，这些理论的共同特点是“动态”（dynamic）。传统新古典经济学是静态的，重视均衡点，但很难进行历史的研究。正因为如此，这些新理论才显
示出强大的生命力，获得广泛运用。
我们这里讲演化博弈(evolutionary game theory)，它显然有2条理论来源，一是演化理论，一是博弈论。
先来看演化理论，我首先要纠正一个常见的误解，即演化均衡是帕累托最优的，或者说最大化整个社的福利。我们要注意到，演化均衡不等于一般均衡，等会我会给出一些严格的定义。从福利经济学第一定理可以得知，一般均衡必然是帕累托最优的，即所谓的看不见的手的含义，但是演化均衡并没有类似的定理。我们用常识来分析，如果演化均衡最大化社的福利，那么什么是社的福利呢？是个体的总数最大吗，是个体的多样性最多吗，抑或是个体预期存活概率最大？即使我们能为适应性（fitness）出合适的测量方法，我们也无法保证演化是朝向个体适应性最大的方向演化。我这里用演化，避免用演进，可以减少误解。演化理论中有两条最重要的机制。一个叫自然选择，即不是每种生物都有相同的概率在下一期存活。在这个世界上，有些生物个体（或者人）特别幸运，他们能活下去，但还有些个体就
倒霉了，他们会被淘汰。我们今天都活着，可见我们的祖先都还是幸运的，他们有后代继承了他们的基因。我特别要强调自然选择，对于我们来说是被选择(be selected)，我们能决定我们的行为和策略，但不能决定我们是否被选择，那是上帝的事情。严复说物竞天择，就是这个意思。
另一种机制叫突变机制(mutant)，这保证了种的变化。如果没有突变，那么这个世界上存活下来的物种就会越来越少，最后只剩下一种。对于突变机制，我也要强调它是没有方向性的，可能会提高个体的适应性，但更有可能降低个体的适应性。突变同样是上帝的选择，微观个体无能为力。
接下来，我们就可以回顾演化经济学的思想史了。我在幻灯片里给出了一长串人的名字，他们都可以看作是具有演化思想的经济学家，都是演化经济学的先驱。斯密，马克思，门格尔，马歇尔，凡勃仑，熊彼特，直到哈耶克。我尤其要强调雄彼特的贡献，他研究经济发展和经济周期，提出了著名的“创新”思想。这带有明显的动态的特征，并影响了随后的尼尔森和温特。
安德森把熊彼特以后，尼尔森-温特以前这段时间（1930-1970）比作黑暗时代（当然这仅指演化经济学而言，对于新古典经济学无疑是黄金时代呢），这段时间很少有人关心动态的演化的经济学理论。（阿尔奇安也许是个例外）
从70年代初开始，尼尔森和温特提出了一系列演化经济学模型。同时，梅纳德.史密斯在1973年提出了著名的演化稳定策略，奠定了演化经济学的基础。从此，演化经济学可以算真正诞生了。
尼尔森自称是熊彼特的忠实信徒，而温特是达尔文进化论的信徒，他们的演化理论非常鲜明地具有这些特征。计算机能够很好地模拟生态学上物种数量的演化，因而也被广泛地用于经济模型的演化模拟。尼尔森-温特的多数模型都很容易被改编成计算机模型，用现实数据进行实证检验。大家认为他们的模型在产业组织（IO）的应用比较成功，我就以这方面的模型为例子。
尼尔森-温特给出了个体在演化过程中的几个重要特征，我把他们列在下面
1个体永远不会完美信息（局部知识或吉尔兹的地方性知识，而不是全局性知识）
2个体行为受制度（正式和非正式），规范，习俗，意识系统等条件约束
3个体（或者企业）可以模仿对手
4开发和模仿（也就是R&D）既有“积聚效应”（可以参考Becker关于“上瘾”以及孩子教育的论文）和路径依赖的效果，又与原创性科学研究相关。
5个体竞争的结果往往是非均衡的－即败者出局（被淘汰）
6个体的特征是非决定性的－这里他们是在反驳“决定论”的批评。同时，演进的结果通常是不可逆的。
7主流经济学喜欢讨论“潜在的”均衡（也就是往往达不到的，但理论上可能的均衡），而对非均衡状态的分析要远比那些均衡来的重要。
我们重点讲其中的“创新”部分。熊彼特的创新，到了尼尔森和温特那里，运用到对firm的研究，被偷换成了R＆Ｄ（更具体一些，是innovation/imitation）。创新当然不完全等同于R&D，但这样做是必要的。我们可以参考Becker的研究方法，我们脚站在工具里，把能够工具化的变量尽量工具化，也许我们只抓住了变量的很次要一部分，我们只迈出了一小步，但对这一小步我们有足够的自信心。回到R&D，我下面主要依据他们1982年那本著名的教科书Evolutionary theory of economic change。
我们根据以下知识列出计算方程
1 资本生产率是由企业的专门化知识决定的
2R&D的产物是innovation和imitation。
3R&D密度（就是R&D占总资金比例，例如微软好像是5%）由一固定规则决定。
4原创能否实现是一个柏松过程。再加上一些常识，就能写出联立方程组，用计算机来算。5创新是不连续的，有跳跃，有“高原现象”。
接着我们就可以批评他们的工作了。先是一个小问题，就是如何区分原创和模仿，两者之间的关系是怎样的（互补或互替或其他），他们也做了回应。接着是一个大问题，就是他们把R&D看作在一个搜索空间（search space）里的搜索过程。
让我先打个岔，说说经典博弈论里的共同知识（common knowledge）的事情。耶路撒冷学派的领袖奥曼（Aumann）说，博弈论的基础是一团乱麻。要理出一根阿里阿德涅线，我们要到一个线头，这就是共同知识。共同知识就是，我知道你的策略，你知道我的策略，我知道你知道我的策略，你知道我知道你的策略...宾莫尔（Binmore）等人试图用一个自明之理来取代这个共同知识。有些事情，只要发生了，人人都应该知道（例如911事件，现在的美伊战争等）。但他们在公理化这个自明之理时，又遇到致命的阻碍。这就是所谓的第五公理和第六公理。第五公理说，我知我所知。这还算了，第六公理说，我知我所不知，这立刻遇到了哲学问题。亚里斯多德的“愈学愈无知”的故事正好拿来反驳。一个人如何能知道自己的策略空间，更如何能知道自己策略空间以外的空间？从语言学或者认识论的角度来看，这个公理更显得荒谬了。
博弈论大师在共同知识这个问题前的狼狈是可想而知的。我这里只是想类比一下，R&D 真的能表示成在给定的搜索空间里搜索吗？从实践的角度，我们只能处理一维和二维的情况，丁丁说的“一切人在一切方向上的创新”，这就超出我们能够处理的范围了。我们能够在一个时点讨论多个维度（一般均衡），我们也能在时间连续情形下讨论一个维度（演化稳定－这就是尼尔森和温特他们的工作），但
我们无法讨论时间连续下多个维度的情况，这超出了理性的范围，但这正是创新的特点。
说了那么多，我只是想指出，他们这派的方法论是排除个人的理性选择的。所以他们的模型可以被很好地运用到产业组织的研究中。他们的路子跟泰勒尔（Tirole ），美国的博弈论四人帮等的路子很不同。传统的经验型的产业组织研究（张伯伦，罗宾逊他们的研究，到后来贝恩那里所谓的SCP 范式）已经彻底被博弈论征服了。而尼尔森，温特他们用演进理论借尸还魂，恢复产业组织的经验研究（很显然，计算机模拟的结果可以跟实证数据对比）是很成功的。其中最微妙的与人的选择关系最密切的R&D 活动也被巧妙的模型化了。（但我们看到，把多维的创新压缩到1，2维的搜索空间里的搜索，这里面问题很大）
接着，我们可以讨论一些重要的概念了，主要是一些博弈论的概念。当然，其中最重要的概念就是演化稳定策略（ESS ）。我想强调，ESS 是一种策略，而不是均衡。策略在前， 均衡在后。由策略看演化，是由前往后看，由均衡看演化，是由后往前看。
我们先给出一个严格的定义，在两人对称博弈情况下（我们下面主要讨论对称的情况，不对称通常可以转换成对称的情形），存在策略σ，σσ'≠，()(0,1)εσ'∈，使得 (,(1))(,(1))u u σεσεσσεσεσ'''+->+-，那么σ就被称为演化稳定策略。
由上面的定义可以看到，博弈双方都会采用这最优的演化稳定策略。我们有两条性质如下
性质1：演化稳定策略必然是纳什均衡。
性质2：只有严格的（即唯一的）纳什均衡才能由演化稳定策略得出。
下面我介绍一个通俗的例子，表明演化稳定策略往往会不存在，所以我们有时不得不转向均衡的分析。
这个例子很简单，叫“石头－剪刀－布”博弈。石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，当双方的策略相同时，收益都为x.
很显然，这个博弈有一个混合策略纳什均衡，即用1/3的概率分别选择出石
头－剪刀－布{1/3,1/3,1/3}，或者说随机选择，这个策略的期望收益是13
美伊战争X 。假设这个博弈存在演化稳定策略 ，那么双方都采取这个策略，收益显然为X.由定义
得，既然策略是ESS ，那么必然有X>13
X ，我们知道这只有在X>0时才满足。 当X<0时，这个博弈不存在演化稳定策略，但显然它是存在纳什均衡的，所以我们需要另一种分析方法，叫演化稳定均衡（EES ）
我把定义写在下面
X 是个非空纳什均衡策略闭集合，存在(0,1)ε'∈，X σ∈，((1))BR σεσεσ''∈-+，0εε'<<，(1)X εσεσ'-+∈，则X 是演化稳定均衡。
我们可以证明，每个对称博弈都存在演化稳定均衡，每个演化稳定均衡是纳什均衡集的一个元素。
这样，我们就有了几个相关的工具。一个是演化稳定策略，由这个策略可以推导最后的均衡，但这个占优策略未必存在。一个是演化稳定均衡，它一定是存在的，但只是最后的结果。一个是纳什均衡，但我们知道纳什均衡往往不唯一。
接下去，我们来讨论演化策略的稳定性。我们有时候会发现ESS虽然是占优的，但不是稳定的－这很重要，这导致我们必须引入一种“突变”（mutant）机制。
我下面举一个例子，是Robson(1990)年提出的，被称为“秘密握手”博弈。
有支付矩阵如下
(0.1)
显然，这个博弈有2个纳什均衡，分别是(d,d)和(m,m)，(m,m)帕累托占优于(d,d)。因为(d,d)与(d,m),(m,d)无差异，而(m,m)优于(d,m)和(m,d)，因此，只有(m,m)是演化稳定策略。
我们仔细观察这个支付矩阵，就能看出问题。随着演化，大家采用的策略最后都稳定在m 上，采用m即合作的策略成为大家默认的规则（制度）。
这时候，就会有人想钻空子了（突变），他会想改变策略选择c。当别人选择m时，他就获得更高的收益。对手很快就会发现这种情况，于是也选择策略c，但(c,c)不是纳什均衡，不稳定，最后会收敛到(d,d)，我们又回到了分析的起点。
这自然是个无限递归的过程，Robson用一种“秘密握手”的思想解决这个问题，即人们通过观察行为，把人分成2组。大家都只和潜在的朋友合作（握手），选择策略m，而对外人采取策略d。这种握手从支付矩阵里看不出来，是外生的。这条思路就和信息经济学接起来了。
然后，我们就可以讲最重要的复制动态了。我们还是从最著名的“鹰鸽博弈”开始讲。支付矩阵如下
这个博弈的生物学涵义是，一个社会有两种动物，一种有攻击性，叫鹰；一种没有攻击性，叫鸽。这个博弈的均衡与c,v的数值大小密切相关。我们先假设，对于某个微观个体，物种只是由遗传（gene）决定的，即某种生物生来要么是鹰，要么是鸽，它无法采取混合策略。如果V>C，也就是两个鹰之间竞争后的预期收益大于0，那么很显然，唯一的纳什均衡就是(H,H)，演化稳定策略就是（H,H）。长此以往，整个社会最终将只剩下鹰。如果V<C，情况就复杂了，因为(H,H)与(D,D)都不是纳什均衡，整个博弈不存在演化稳定策略，最终什么情况都可能发生。我们用微分方程来描述，可以发现没有稳态。
但我们放松前面那个假定，从宏观社角度来看，情况就不同了。如果我们允许混合策
略存在，我们可以得到一个混合策略*(,1)v v c c σ=- 这个混合策略的生物学涵义是，整个社会里有v c 的生物是鹰，1v c
-的生物是鸽。如果鹰多了，它会因为相互斗争而两败俱伤，从而减少数量，恢复到均衡状态。反之亦如是。
描写人口变化数量的微分方程就被称为复制动态。我们知道，人口变化一方面受上一代种数量的影响（即著名的费雪方程），一方面受当期竞争的影响（博弈论）。这里，我们再次碰到了演化经济学的大问题，演化是基因演化还是文化演化？即个体的特性是先天遗传决定还是后天学习决定。我举个小例子吧。人类学家在欧洲发掘早期智人，发现两种骨头，一种在前，叫尼安德特人；一种在后，叫克里马隆人。对于这两种人之间的关系，人类学家提出了2种看法。我们在后期只发现克里马隆人，一种可能的解释当然是尼安德特人全都进化成了克里马隆人。另一种可能的解释是，克里马隆人和尼安德特人没有任何亲缘关系，他们只是后来居上，消灭了尼安德特人。这就分别对应于“文化演化”与“基因演化”。这两种演化思想的争论至今仍然是演化理论的核心问题。
好了，接着我们就可以讲近年来演化博弈论最重要的进展，随机稳定（SS ），这是杨（P .Y oung ）和福斯特（Foster ）的贡献，他们都写过重要的演化博弈论教科书。我们知道，演化稳定策略只能抵御初始的冲击，它保证这个策略比其他策略都占优。但在演化博弈过程中，发生了冲击，那么演化稳定策略就无能为力了。它不能保证必然导向估计的稳定点。而我们有了随机稳定策略以后，情况就好得多。我们只要保证每次转移矩阵不变，不管中间发生了多少次冲击，整个博弈都能向均衡点收敛。
随机稳定策略被广泛运用于制度分析中，因为制度变迁的过程正是一个不断冲击，不断相互作用的过程。下面，我们用一个协调博弈的例子来说明，这个例子来自于卡多里等，被称为KMR 模型（Kandori,Mailath,Rob ）。先简单解释一下协调博弈，这类似于围城战。例如史可法被清兵把扬州城团团包围了。他派人杀出城去求来南明救兵。但因为敌人强大，一定要里应外合才能杀退敌军，任何一方单独行动都会遭至失败。
当然，这里面有一个信号传递的问题，即协调的过程，而这又和共同知识（common knowledge ）有关。城外的人必须完全知道城内人的策略空间，城内的人也是，相互嵌逃，无穷递归。而我们用自明之理代替共同知识，又会遇到认识论的问题，上面已经说过了。
我们不看信号传递，就简单地看这个支付矩阵。
我们假设其中a>c,b>d，但是a-c<b-d 。更具体一些，a=2,b=1,c=0,d=-100。显然，(A,A)与（B,B ）都是纳什均衡，（A,A ）是帕累托最优的。但（B ，B ）是风险占优策略。
我们假设整个社会人口1()t t z b z +=,{1,...,1}z Z N ∈=-。其中()b z z >当且仅当(,)(,)u A z u B z >，1(,)11z N z u A z a b N N --=+--，1(,)11
z N z u B z a b N N --=+--。 于是整个社会人口的变动1()t t t t z b z x y +=+-

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