排列组合问题的求解方法与策略
《排列组合问题的求解方法与策略》
一. 排列组合问题的求解方法
1. 含有可重元素．．．．．．
的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!
!...!!21k n n n n n =
.
例1：已知数字3、2、2，求其排列个数3!
2!1)!21(=+=
n 又例如：
数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!
3!3==n .
2.直接法.  （一.合理分类与准确分步法） 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例2 、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有                                            （  ）
A ．120种
B ．96种
C ．78种
D ．72种
例 3、 4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？
例4、如图：在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同植物可供选择，则有            种栽种方案？（2001年全国高中数学联赛）
例5、从给定的六种不同颜中选用若干种颜，将一个正方体的六个面染，每面恰染一种颜，每两个具有公共棱的面染成不同的颜。则不同的染方案共有            种。
（二、元素分析与位置分析法）对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例6、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。 A ． 24个  B 。30个  C 。40个  D 。60个
例7、 马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？ （三.列举法）
例8、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有              。（1998年全国高中数学联赛）
例9、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动。那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共            种。（1997年全国高中数学联赛）
例10．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根
据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（    ）
A ．5种
B ．6种
C ．7种
D ．8种
3.排除法. （总体淘汰法）（正难则反）
例12．有五张卡片，他们的正反面分别写有0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
例13．从1，2，3，…，1995这1995个自然数中，取出9个互不相邻的自然数，有多少种方法？
4.捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)
(n m m ≤个元素
必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中1
1+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m
A 则是“局部排列”. 例14.①有n 个不同座位，A 、
B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211
A A n ⋅-.    ②有n 件不同商品，若其中A 、
B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A .
注：①③区别在于①是确定的座位，有
2
2A 种；
而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.
5.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.
例15.：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？m m n m n m n A A 1
+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤2
1+n 时有意义.
6.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
7.调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m  个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的
作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m m
n
n A A 种排列方法.
例16：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？
8.平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有
k k
n n
n n
k n
kn
A
C
C
C
)1(-⋅.
例17：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有
3!
224
=C
（平均分组就用不着管组与组之
间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （!
2/10202
2
8
18C C C P =
）
注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有
节约用电的方法m
m m
m n m
n m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤
2
1+n 时有意义.
9.隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
例18：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然
12
4321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的
一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应.
即方程的解的组数等于插
x 2
x 4
隔板的方法数3
11C .
注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i
x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进
而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n
A C  . 10.定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个
指定位置则有r k r
n r r A A --. 例19：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？
固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （
一类是不取出特殊元素a ，有m
n A 1
-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） 11.指定元素排列组合问题.
i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。先C 后A 策略，
排列k k r k r n r r A C C --；组合r
k r
n r r C C --. ii. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定某r 个元素都不包含在内。先C 后A 策略，排列k k
k r n A C -；组合k r n C -. iii 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r 个元素
中的s 个元素。先C 后A 策略，排列k k s k r n s r A C C --；组合s k r
n s r C C --.  12. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，假定其中r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为r r
A A /（其中A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K 组均匀分组应再除以k k A . 例20：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为1575/2244
48210=A C C C .若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为442222
24262819110/A A C C C C C C ⋅ ②非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为m m
A A ⋅ 例21：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：335538210A C C C ⋅⋅⋅种.
若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有3345
38210A C C C ⋅种 ③均匀编号分组：n 个不同元素分成m 组，其中r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为m m r r
A A A ⋅/. 例22：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为332
2
4
448210A A C C C ⋅
④非均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管
是否分尽，其分法种数为1m
n C A =21m
m -n C …k m
)m ...m (m -n 1-k 21C +++
例23：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为252055
38210=C C C 若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为126003729110=C C C .
13. 分排问题“直排法”把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其它的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。
例24、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？
14. 表格法有些较复杂的问题可以通过列图表使其直观化。
例25、9 人组成篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，现从中选5人（两卫三锋，且锋分左、中、右，卫分左右）组队出场，有多少种不同的组队方法？
15. 转化法：对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解
例26. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？
例27. 某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种?解：等价于4人插5空A
模型:4
5
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决！
例28.高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种?
16. 对等法：在有些题目中，它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体，就可以得到所求.
例29.期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序?
17. 利用映射关系解题：就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形来解决数学问题或非纯数学问题的思想方
法.
例30．圆上有10个点，每两点连成一条线段，这些线段在圆内最多有多少个交点？以这些交点为顶点的三角形最多有多少个？
18. 利用递推关系解题．
例31．有一楼梯共10级，每步只能跨上1级或2级，问要登上最后一级共有多少种走法？
例32.把圆分成10个不相等的扇形，并且用红、黄、蓝三种颜给扇形染，但不允许相邻的扇形有相同的颜，问共有多少种染法?
19.利用不等式(方程)组解题：在解决某些数学问题时，先设定一些未知数．然后把它们当作已知数，根据题设
本身各量间的制约，列出等式，解方程即可。
例33．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
例34．将10个完全相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子内，要求放入盒子的球数不小于它的编号数，则不
同的放法有（  ） A  20种  B15种    C14种    D12种
20. 标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．
例35.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
[    ]
A ．6种
B ．9种
C ．11种
D ．23种
21. 交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A ∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A ∩B) 【例 36】从6名运动员中选出4个参加4×100m 接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？
22.选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法． 【例37】四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种 【例38】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？ 23．部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求． 【例39】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有
[    ]
A ．70个
B ．64个
C ．58个
D ．52个 【例40】正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．
II. 排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；
⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.
提高班培训材料之二：《排列组合问题的求解方法与策略》（答案）
一. 排列组合问题的求解方法
1. 含有可重元素．．．．．．
的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!
!...!!21k n n n n n =
.
例1：已知数字3、2、2，求其排列个数3!
2!1)!21(=+=
n 又例如：
数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!
3!3==n .
2.直接法.  （一.合理分类与准确分步法） 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例2 、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有                                            （  ）

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