用“标点法”巧解“展开与折叠”
姓名：梁润平
单位：山西省平遥县古陶镇第二初级中学
：031100
：138****7782
摘要：初中一年级的学生空间想象能力差，经验少，所以解决“图形的展开与折叠”这一节的一些习题时，就会觉得一筹莫展。如果掌握了“标点法”就可以帮助他们度过这个难关。关键词：标点法展开与折叠重合点
正文：
在北师大版七年级数学上册第一章第2节“展开与折叠”的教学中，经常听到有的教师说“没有立体感的学生累死也教不会”，刚开始我也有同感，有些特殊的题，无论你怎样讲，学生们就是理解不了。教学之余，我就琢磨，总觉得应该有一种好一点的办法来破解这类题型。
之后我终于发现了一种好办法——“标点法”。现将我的愚见说出来，与大家商榷。
我的想法是，正方体的展开图，其实就是沿着一条裁剪线，把这个正方体原本重合的地方剪开了。如果再折叠，那些点和线还会重合。所以在展开图中应该能到相应的重合点和线。如果用相同的字母标出重合的点来，不同的点用不同的字母标出，如A、B、C、D······这就是“标点法”。用这种方法可以很方便地解决一些问题。
例如，图1是“1—4—1”型正方体展开图，我们先把“V”形口上的点出来标上字母，如A与A’，B与B’，E与E’。因为很简单地就可以看出，它们在折叠成正方体后都会重合，所以也可以把这些能重合的点标成各自相同的字母（如图2所示）。除此以外，很明显的该类图形中“四连体”的两头在围成正方体后也会重合，所以两头的上下这两个点，也要标为各自相同的字母。因为左边的一个点已标为“B”了，所以右边的也要标为“B”，另外的那个就可标为“C”，这样，其他的点也就可以开始标了。从A点开始标，沿着顺时针和逆时针两个方向依次标下来，都是“A—B—C---D---E”，沿这两个方向标到“E”时，两头正好衔接，如图2所示。这个图就算标完了。
又如，图3是“2—3—1”型正方体展开图，应当先标“V”型口上的点，即“A--A”，“C--C”，“D--D--D”。这里需要说明的是，在几何体展开图中，有可能出现三点重合的情况，如上面提到的“D—D--D”。标完重合点以后，就沿着顺逆两个方向标点，直至两头衔接。如
图4所示。
山西省有一次教学时，我班的一名学生举手问我：“梁老师，为什么前面的1—4—1型图中标了五个点，而这个图中标了四个点呢？”我说：“因为正方体的有些地方没有剪开，不需要标点，如果你都标出来数一数，看看这两种类型的展开图中各有几个点？”学生们数完回答“八个”，我又问：“一个正方体有几个顶点？”学生们说：“八个。”刚说完他们也就恍然大悟了。
再如，图5是“2—2--2”型正方体展开图，按照前面所介绍的标点法，先标重合点，再标其他点，标完后就如图5所示。
“3--3”型正方体展开图用“标点法”标完，就如图6所示。
运用“标点法”需要注意的是：（1）要先标重合点；（2）字母也不是非得按照字母表中的顺序，只要能区分得开就行；（3）“标点法”必须从“V”形口上的重合点开始，沿着顺逆两个方向标，直至两头衔接。
接下来我们就用“标点法”来解决几个习题。
例①：如图7所示，是正方体的展开图，如果将其折叠成一个正方体，则哪些点与点A 重合？MN、NA、AB分别与哪些边重合？
解答此题时，我们先用“标点法”用另外一组字母来给图7标点，如图8所示。这样一来，在图上可以看出，A点与K点都标为P点，说明A点与K点重合。MN、NA、AB与ML、LK、KJ在新标的点中分别都标为MO、OP、PQ，说明MN、NA、AB分别与ML、LK、KJ重合。问题便迎刃而解。
例②：在正方体表面上画有如图9所示的粗线，图10是其展开图的示意图，但只在N 面上画有粗线，那么将图9中剩余两个面中的粗线画入图10中，画法正确的是（）
此题用“标点法”可以这样解决：我们先把图9中N面左上角的这个点标为P点，从图上可以看出，三条粗线围绕P点构成一个三角形。也可以假想成沿着这三条粗线可以把P 点所在的角用刀切下来。那么在其展开图图10中可以到P点，而且是三个能重合的P点。若像图9中一样切下P角，那么在图10中就是把P点所在的三个面中的P角切下来，切痕显然就是A答案中的三条粗线。
这就是“标点法”及其运用，希望这种“标点法”能对老师和同学们带来一些方便，不妥之处敬请批评指正。
（文中的两个例题出自北师大版《课堂精练》七年级上8—9页）
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