第十三讲 棋盘中的数学（四）
——棋盘格的计数问题
与棋盘有关的另一大类数学问题是计数问题．我们只能就一些简单的例题进行解说，并随之介绍解题的思想方法．
例1 如下左图，在中国象棋盘上，乙方一只边卒已经过河，它可以向前移一步到B，也可以横行一步到A，要使这个小卒沿最短路线走到对方帅所在的位置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种不同的走法？
解：为了解这个问题，可以从简单的情形开始，逐步进行．上右图中，小卒沿最短路线走到A、B、C、D、E、F、G、H的走法都只有一种，走到K，则有两种：先走到A再走到K，或者先走到B，再走到K．走到M，则有1＋2＝3种：先走到C再到M有一种，先走到K再到M有2种（因为走到K有2种走法）．把走法的种数标在各点上，每个数等于它前面的两个数（下图中左方一个，下方一个）的和．走到帅的位置有70种不走法．
说明：利用标数法可以很快求出从一个点到棋盘上另一点最短的不同路线数，这是一种很直观有用的计数方法．
例2 围棋盘上横竖各有19条线（如下图），在棋盘上组成许多大小不同的正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正
解法1：我们把小正方形放在大正方形的左上角，则小正方形的右边线与大正方形的第10条竖线重合．将小正方形向右平行移动一格（如下图）则又可出现一个小正方形，顺次向右移动9次后，小正方形的右边线与大正方形的右边线重合．这样前后共得到10个小正方形．同样，将左上角小正方形再每次向下移动一格，也可得到10个小正方形．所以共有10×10＝100个小正方形．
解法2：将大正方形左上角的小正方形沿大正方形的对角线AC移动，第1次移动（如下图）可视为是右移一格和下移一格的合成，也可视为是下移一格和右移一格的合成．再加上初始位置的小正方形，这时就有1＋3个小正方形．继续将小正方形沿对角线移动，共移动9次，小正方形就移动到大正方形的右下角．这时共包含小正方形（1＋3＋5…＋19）个，我们可
解法3：我们先在下右图小正方形中一个代表点，例如右下角的代表点E，然后将小正方形按题意放在围棋盘上，仔细观察点E应在什么地方，通过观察，不难发现：
①点E只能在棋盘右下角的正方形ABCD（包括边界）的格子点上．
②反过来，右下角正方形ABCD中的每一个格子点都可以作为小正方形的点E，也只能作为一个小正方形的点E．
这样一来，就将“小正方形的个数”化为“正方形ABCD中的格子点个数”了，很容易看出正方形ABCD中
的格子点为10×10＝100个．
说明：以上三种解法都有一定代表性．其中解法3既巧妙又迅速，它利用了“一一对应就一样多”的配对原理．配对原理在计数中是非常重要的．
例3 从8×8的方格棋盘（下图）中取出一个由三个小方格组成的“L”形（可旋转），问有多少种不同的取法？
分析 如果从2×2的方格中取“L”形，则有4种不同的取法，因此，我们只要知道从8×8的方格棋盘上总共可以取出多少个“田”字形就可以了，又由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线的交叉点（但不包括边界上的点），反过来每一个这样的交叉点都有一个以它为中心的“田”字形，于是问题就转化为求横线与竖线一共有多少个不在边界上的交叉点．
解：设S是从棋盘上所能取出的所有“田”字形组成的集合，S′是棋盘内所有横线和竖线的交叉点（不包括边界上的点）组成的集合．
由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线的一个交叉点且不在边界上，反过来，位于棋盘内横线与竖线交叉点四周的四个小方格恰好组成一个“田”字形，因此集合S与S′的元素能一一配对．由配对
原理，这两个集合的元素一样多．
而棋盘内横线与竖线的交叉点有：
（9－2）×（9－2）＝49（个）．
所以棋盘上可以取出“田”字形的个数为49个．又由于从一个“田”字形中可以取出4个“L”形，并且，从不同的“田”字形中取出的“L”形是不同的，所以可知，从棋盘上共可以取出49×4＝196个“L”形，即题中“L”形的不同取法共196种．
例4 如下图在5×5棋盘格中，共有多少个正方形？
解：在5×5的棋盘格中
包含 1×1的正方形共25个；
包含 2×2的正方形共16个；
包含3×3的正方形共9个；
包含4×4的正方形共4个；
包含5×5的正方形共1个；
总计包含各种正方形共有：
25＋16＋9＋4＋1＝55个．
说明：本题解法是先将正方形分成五类：1×1，2×2，3×3，4×4，5×5，对每一类都仿例3中第3种解法去解是非常迅速的．
例5 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
分析 解决这个问题，主要是运用两个结论：
①同底等高的两个三角形的面积相等．
②平行的两条直线间的距离处处相等．
解：设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是：
所求的三角形可分两种情形：
①
三角形的一边长为2，这边上的高是3．这时，长为2的边只能在原正方形的边上．这样的三角形有：
2×4×4＝32（个）．围棋棋盘有几个交叉点
②三角形的一边长为3，这边上的高是2．这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线（其中，与①重复的三角形不再算入）．这样的三角形有：
8×2＝16（个）．
答：所求的三角形共48个（包括上页图中给出的三角形）．
说明：解本题，容易出现两种错误，一是“少”，如忽略了底是3，高是2的三角形，这样就少算了16个；二是“多”：在计算底是3，高是2的三角形时，没有考虑其中有16个在情形①中已经计算过了，于是会得出错误结果64个．
棋盘格计数问题，本质上是一种数数问题．其一要注意会把对象分类．其二，在每类数数时要做到不重，不漏．这样才能得到正确的结果．
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