matlab三个简单物理建模实例（笔记）
〔实例 1.1〕试对空⽓中在重⼒作⽤下不同质量物体的下落过程进⾏建模和仿真。已知重⼒加速度 g = 9.8m/s 2 ，在初始时刻 t 0 = 0s 时物体由静⽌开始坠落。空⽓对落体的影响可以忽略不计。
g=9.8; % 重⼒加速度
v=0; % 设定初始速度条件
s=0; % 设定初始位移条件
t=0; % 设定起始时间
dt=0.1; % 设置计算步长
N=20; % 设置仿真递推次数. 仿真时间等于N与dt的乘积
for k=1:N
v=v+g*dt; % 计算新时刻的速度
s(k+1)=s(k)+v*dt; % 新位移
t(k+1)=t(k)+dt; % 时间更新
end
% 理论计算, 以便与仿真结果对照
t_theory=0:0.01:N*dt; % 设置解析计算的时间点
v_theory=g*t_theory; % 解析计算的瞬时速度
s_theory=1/2*g*t_theory.^2; % 解析计算的瞬时位移
% 作图: 仿真结果与解析结果对⽐
t=0:dt:N*dt;
plot(t,s,'o', t_theory,s_theory, '-');
xlabel('时间 t'); ylabel('位移 s');
legend('仿真结果','理论结果');
〔实例 1.2〕对乒乓球的弹跳过程进⾏仿真。忽略空⽓对球的影响，乒乓球垂直下落，落点为光滑的⽔平⾯，乒乓球接触落点⽴即反弹。如果不考虑弹跳中的能量损耗，则反弹前后的瞬时速率不变，但⽅向相反。如果考虑撞击损耗，则反弹速率有所降低。我们希望通过仿真得出乒乓球位移随时间变化的关系曲线，并进⾏弹跳过程的「实时」动画显⽰。
g=9.8; % 重⼒加速度
v0=0; % 初始速度
建模方法y0=1; % 初始位置
m=1; % ⼩球质量
t0=0; % 起始时间
K=0.85; % 弹跳的损耗系数
N=5000; % 仿真的总步进数
dt=0.005; % 仿真步长
v=v0; % 初状态
y=y0;
vx=2; % ⽔平速度
x =0; % ⽔平⽅向的初始位置
for k=1:N
if y >0 % ⼩球在空中的动⼒⽅程计算
v =v -g*dt;
y =y +v*dt;
else % 碰击瞬间的计算
y =-K.*v*dt;
v =-K.*v-g*dt;
end
x = x + vx*dt;
hold on
plot(x,y,'o');
axis([-2 10 0 1]); % 坐标范围固定
set(gcf,'DoubleBuffer','on'); % 双缓冲避免作图闪烁
drawnow;
end
〔实例 1.3〕试⽤蒙特卡罗⽅法求出半径为1的圆的⾯积。并与理论值对⽐。
sita=0:0.01:2*pi;
x=sin(sita);
y=cos(sita);% 计算半径为1的圆周上的点，以便作出圆周观察
m=0; % 在圆内在落点计数器
x1=2*rand(1000,1)-1;% 产⽣均匀分布于[-1, +1]直接的两个独⽴随机数x1,y1
y1=2*rand(1000,1)-1;
N=1000; % 设置试验次数
for n=1:N % 循环进⾏重复试验并统计
p1=x1(1:n);
q1=y1(1:n);
if (x1(n)*x1(n)+y1(n)*y1(n))<1 % 计算落点到坐标原点的距离，判别落点是否在圆内 m=m+1; % 如果落⼊圆中，计数器加1
end
plot(p1,q1,'.',x,y,'-k',[-1 -1 1 1 -1],[-1 1 1 -1 -1],'-k');
axis equal; % 坐标纵横⽐例相同
axis([-2 2 -2 2]); % 固定坐标范围
text(-1,-1.2,['试验总次数 n=',num2str(n)]);% 显⽰试验结果
text(-1,-1.4,['落⼊圆中数 m=',num2str(m)]);
text(-1,-1.6,['近似圆⾯积 S_c=',num2str(m/n*4)]);
set(gcf,'DoubleBuffer','on'); % 双缓冲避免作图闪烁
drawnow; % 显⽰结果
end
参考书籍：
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