【高中数学数学文化鉴赏与学习】
专题17秦九韶
（以秦九韶为背景的高中数学考题题组训练）
一、单选题
1．南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为，那么三角形的面积，后人称之为秦九韶公式，这与古希腊数学家海伦证明的面积公式实质是相同的.若在中，，则的内切圆半径的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据题干的面积公式计算，然后根据等面积法计算可得该三角形的内切圆的半径.
【详解】
由题可知：，
又，
所以
由，
所以.
故选：D
2．南宋时期，我国著名数学家秦九韶发现了与海伦公式等价的求三角形面积的方法，称之为“三斜求积术”.这个公式能用三角形的三边a、b、c来求三角形的面积S.数学课上，张三在做笔记时由于分神，有部分公式没有抄完，他的笔记写着，请问□里是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由面积公式与余弦定理进行推导，得到答案.
【详解】
由三角形面积得：
.
故选：C
3．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其他表作有秦九韶的《数学九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数学九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共7本，从中任取3本，至少含有一本杨辉的著作的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求其对立事件的概率，再用减去其对立事件的概率即为所求
【详解】
解析：所求概率
故选：D
4．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，利用海伦——秦九韶公式将面积表示为的函数，利用的范围及二次函数知识可求出结果.
【详解】
秦九韶著作依题意可得，
所以
，
因为，即，所以，
所以当时，取得最大值.
故选：A
5．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设△的三个内角所对的边分别为，面积为，“三斜求积”公式表示为.在△中，若，则用“三斜求积”公式求得△的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理边角关系可得，再结合已知可得，代入“三斜求积”公式即可求面积.
【详解】
由正弦定理可得：，则，
又，即，
所以.
故选：C
6．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中给出了三角形面积的求法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅.开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式，就是.根据此公式，中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
结合正弦定理、三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】
依题意，由正弦定理得，
，
，
所以.
故选：B
7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积”：以斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里就有已知三边求三角形面积的问题，该问题翻译成现代汉语就是：一块三角形田地，三边分别为13，14，15，则该三角形田地的面积是（ ）
A．84 B．168 C．79 D．63
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“三斜求积”可得三角形面积公式为，代入数值计算可得；
【详解】
解：依题意设的内角，，的对边分别为，，且，则三角形面积公式为，又，，，所以
故选：A
8．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（ ）
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