数学史之中国古代数学
数学史之中国古代数学
中国古代数学
⼀、中国传统数学的产⽣发展经历了哪⼏个阶段?秦九韶著作
中国传统数学的产⽣发展经历了以下 5 个阶段：先秦时期——中国古代数学的萌芽；汉唐时期——中国传统数学体系的形成；宋元时期——中国传统数学的兴盛；明清时期——中国传统数学的衰弱与复苏。
⼆、先秦时期——中国古代数学的萌芽
（1）结绳记事（2）规矩（⼏何⼯具）的使⽤（3）⼗进制记数法、分数的应⽤和算筹
（4）精湛的⼏何思想（《墨经》记载了许多⼏何概念：“平，同⾼也”“中，同长也”“圜，⼀种同长也”“端，体之⽆厚⽽最前者也”“直，参也”）。
（5）数学思想（《庄⼦》“⼀尺之棰，⽇取其半，万世不竭。” 有这是⽆穷数列极限的例⼦。“飞鸟之影，未尝动也，飞箭之疾⽽⼜不⾏不⽌之时。”这对应了芝诺悖论的⼆分说和飞箭静⽌说。）
（6）数学教育的开始（《周礼》记载，礼、乐、射、御为⼤艺，书、数为⼩艺。，前者为⼤学所授，后者为⼩学所习。）
三、汉唐时期——中国传统数学体系的形成
1、〈算经⼗书〉包括：《周髀算经》《九章算术》〈缀术〉〈海岛算经〉〈孙⼦算经〉〈张邱建算经〉〈缉古算经〉〈五曹算经〉〈五经算术〉〈夏侯阳算经〉
2、《周髀算经》最早记录勾股定理的，中国关于勾股定理的证明最早是三国时期的赵爽给出的，赵爽是中国历史上⾸次对《周髀算经》进⾏认真研究和注释的学者。他⼯作主要包括三⽅⾯内容：为⽂字解释；为较详细的数学理论推演；补图，其中最为精彩的是“勾股定理⽅图注”。
3、《九章算术》
（1）《九章算术》的内容分为九章，分别为⽅⽥（平⾯⼏何图形⾯积⼟地⾯积计算问题），粟⽶（粮⾷兑换问题），衰分（按⽐例分配问题），少⼴（开平⽅或你开⽴⽅问题），商功（各种形体的体积计算公式），均输（复杂的按⽐例分配问题），盈不⾜（盈亏问题），⽅程（线性⽅程组问题的解法、提出正负数加减运算的“正负术”），勾股。标志着中国传统数学的知识体系已初步形成，对中国数学的发展的历史作⽤如同《⼏何原本》对西⽅数学影响⼀样。
（2）《九章算术》对世界数学的重要贡献
系统讨论了分数运算。详尽的讨论了⽐率算法。创造了解线性⽅程组的“⽅程术”。创⽴“正负术”，即正负
数加减运算规则。开平⽅和开⽴⽅的计算⽅法。
（3）《九章算术》的特点和长远影响。
特点：内容的实⽤性。算法的普适性。算法的可操作性。体例的⼀致性。结构的合理性。长远影响：它成为中国古代数学教育的主要依据。它成为中国古典数学进⼀步发展的基础。胡来的⼤多数中算典籍都是效仿九章算术的编写体例，都以其中的算法理论作为进⼀步研究的起点。它成为远东数学的源头。《九章算术》很早就东传⽇本、朝鲜，对这些国家数学的发展起到了重要的启迪作⽤和促进作⽤。
4、刘徽所⽣活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。
答：刘徽魏晋时期⼈；代表著作有《九章算术注》，⽤⾔辞剖析原著的数学推理，即“析理以辞”，对原著中的⼏何命题，则
以“解体⽤图”的⽅法予以诠释或证明。主要成就：算术上给出了系统的分数算法、各种⽐例算法、求最⼤公约数的⽅法；代数上有⽅程术、正负数加减法则的建⽴和开平⽅或开⽴⽅⽅法；在⼏何上别具⼀格的证明⽅法有“图形割补法”“代数法”“极限
法”“⽆穷⼩分割法”，有割圆术及徽率。割圆术的基本思想是“化圆为⽅”，并借助于极限的⽅法。体积计算：阳马的体积=⽴⽅体体积，鳖的体积=⽴⽅体体积。刘徽的另⼀著作《海岛算经》.
5、祖冲之⽗⼦其主要贡献在数学、天⽂历法和机械三⽅⾯。
在数学⽅⾯，(1)他写了《缀术》⼀书，被收⼊著名的《算经⼗书》中，祖冲之算出π的在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到⼩数第7位，简化成3.1415926，祖冲之还给出π的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率）；(2)祖冲之还和⼉⼦祖暅⼀起圆满地利⽤“牟合⽅盖”（牟合⽅盖与其外切正⽅体的体积⽐为2/3），解决了球体积的计算问题，得到正确的球体积公式。(3)祖暅原理：缘冥势既同，则积不容易。即夹在连个平⾏平⾯间内的两个⼏何体，被平⾏于这两个平⾯的任意平⾯所截，若所得截⾯总相等，则此⼆⼏何体体积相等。
在天⽂历法⽅⾯，祖冲之创制了《⼤明历》在机械学⽅⾯，他设计制造过⽔碓磨、铜制机件传动的指南车、千⾥船、定时器等等。
6、〈孙⼦算经〉现传本分上中下三卷。上卷叙述度量衡制度、筹算记数和筹算乘除算法；中卷距离能说明筹算分数算法、开平⽅和⾯积、体积计算；下卷是各种应⽤问题。典型的“鸡兔同笼”“物不知数”问题。
7、〈张邱建算经〉共三卷，所所列问题⼤部分是联系实际的应⽤题。在最⼤公约数和最⼩公倍数、等差数列与不定⽅程⽅⾯超过了《九章算术》的⽔平。典型的“百鸡问题”
8、〈缉古算经〉作者唐初历算家王孝通，⼤部分归结为⼀个三次⽅程求解，创造哪了布列三次⽅程解⽤⽤问题，并运⽤从开⽴⽅法解三次⽅程的⽅法。
四、宋元时期——中国传统数学的兴盛
1、增乘开⽅法：北宋数学家贾宪创造的，包括四种算法：缩根，将⽅根缩⼩⾄原来的⽽使起仅保留⼀位整数；估根，通过试除确定这个证书的数值；减根，除去这个确定的整数；倍根，使⽅根的剩余部分扩⼤10倍⽽重现⼀位整数。贾宪增乘开⽅法尽管已经可以⽤于解⾼次⽅程，但贾宪本⼈却知识单纯的⽤它来处理开⽅问题，将增乘开⽅法推⼴到⾼次⽅程⼀般情况的是南宋时期的数学家秦九韶。
2、杨辉三⾓：贾宪的著作早已失传，但主要内容被南宋时期的杨辉摘录，从著作中可以看出贾宪的⾼次开⽅法是以“开⽅做法本源”图为基础的，图中数字排列成三⾓形，称为杨辉三⾓。西⽅称“帕斯卡三⾓形”。
3、秦九韶〈数书九章〉采⽤问题的形式，收集了81个数学实际应⽤问题，推⼴传统的“开⽅法”，创⽴了“正负开⽅术”。〈数书九章〉卷⼀“⼤衍总数术”中推⼴了“孙⼦问题”解法。
4、天元术和四元术
天元术的产⽣标志着中国传统数学发展到了⼀个新的⾼度，这就是半符号代数的产⽣。李治的《测圆海
镜》和《益古演段》是现存最早的系统介绍和研究“天元术的著作”
四元术：朱世杰是13 世纪⾄14 世纪元代数学家，燕⼭⼈。推⼴了天元术，提出了四元术来接四元⽅程，可以说这是中国筹算代数学的顶峰。《四元⽟鉴》，他引进“天地⼈物”四元来表⽰四个未知数。其主要数学成就是求解⽅程的四元术、⾼阶等差数列研究及其在内插法上的应⽤。四元术最精彩的就是所谓“相消法“其主要步骤是”剔⽽消之“”互隐通分相消“和”内外相消“这三步。
五、明清时期——中国传统数学的衰弱与复苏。
1、古典数学在14世纪中断（衰弱）的原因
中国数学本⾝的弱点：（1）注重数值计算，忽视抽象概念，因⽽不利于发展严密的逻辑体系。（2）缺乏适⽤的数学符号，始终未能建⽴起符号体系。（3）筹算本⾝的局限性。（4）数学发展过程中逐渐偏离以刘徽为代表的正确的⽅法，神秘主义逐渐流⾏。
社会因素：（1）漫长的封建社会进⼊末期，加上外族⼊侵，造成对⽂化、经济和民⽣的严重破坏。（2）知识分⼦地位低下。（3）科举考试制度的异化，科举考试制度始于隋朝，⼀直继续到南宋，其中设有明算科，⼊元后，考试制度废⽌，1313年恢复，但内容以《四书》为主，将数学内容完全欲去。
2、珠算的发展
3、中国传统数学的特点：追求使⽤注重算法于理于算

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