三角形面积公式
三角形面积公式
  1.已知三角形底a，高h，则 S＝ah/2
  2.已知三角形三边a,b,c，则
  （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
  S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]
  =sqrt[(1/2)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
  =√2/2sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
  3.已知三角形两边a,b，这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC，即两夹边之积乘夹角的正弦值。
  4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r
  则三角形面积=(a+b+c)r/2
  5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R
  则三角形面积=abc/4R
  6.S△=1/2 *
  | a b 1 |
  | c d 1 |
  | e f 1 |
  | a b 1 |
  | c d 1 | 为三阶行列式，此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f)，这里ABC
  | e f 1 |
  选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！
  7.海伦——秦九韶三角形中线面积公式:
  S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
  其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.
  8.根据三角函数求面积：
  S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA
  注：其中R为外切圆半径。
  9.根据向量求面积：
  SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）² .
  10.在直角坐标系中，三角形ABC面积为
  S=|AB×AC|/2
  即面积S等于向量AB与AC向量积的模的一半
扩展阅读：
1.根据正弦定理推出来的：
2.S三角形ABC=absinC/2
3.S三角形ABC=acsinB/2
4.S三角形ABC=bcsinA/2
　海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦
（Heron，也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
  假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
  S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
  而公式里的p为半周长：
  p=(a+b+c)/2
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  注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以
  S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
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  由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）
  与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
  cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
  S=1/2*ab*sinC
  =1/2*ab*√(1-cos^2 C)
  =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
  =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
  =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
  =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
  =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
  设p=(a+b+c)/2
  则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
  上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
  =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
  所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明（2）
  我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
  秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
  所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
  q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
  当P＝1时，△ 2＝q,
  S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
  因式分解得
  1/16[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]
  =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
  =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
  =p(p-a)(p-b)(p-c)
  由此可得：
  S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
  其中p=1/2(a+b+c)
  这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
  S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.
  根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
  已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
  这里用海伦公式的推广
  S圆内接四边
形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边）
  代入解得s=8√ 3
推广
  关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
  设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c)/2，则
  S△ABC
  =1/2 aha
  =1/2 ab×sinC
  =1/2 r p
  = 2R2sinAsinBsinC
  = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
  其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
秦九韶著作

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