2022届北海市高三第一次模拟考试
理科数学
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域．．．．．．书写的答案无效．．．．．．．，．在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|2x <8}，集合B ＝{x|x>a}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为 A.(－∞，2) B.(2，＋∞) C.(－∞，3] D.[3，＋∞)
2.已知复数z ＝
a i
3i --为纯虚数(其中i 为虚数单位)，则实数a 的值为 A.－3 B.－13 C.1
3
D.3
3.我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类。全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类。题文也不只谈数学，还涉及自然现象。和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，为验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为
A.148石
B.149石
C.150石
D.151石 4.(x 2＋1)(
1
x
－2)5展开式中的常数项为 A.112 B.48 C.－112 D.－48
5.海洋农牧化使人类可以像经营牧场和管理牛羊一样经营海洋和管理水生生物，从而实现海洋渔业资源利用与生态环境修复兼顾。不同的海洋牧场需要不同的鱼礁，其中一种鱼礁的形状如图所示，它是由所有棱长均为2m 的四个正四棱锥水平固定在一个平面上，且上面四个顶点相连构成的几何体框架，则这个框架
形成的几何体的体积为(棱台体积公式：V 梭台＝1
3
h(S'S)，S'，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高)
A.
秦九韶著作1423m 3 B.2823m 3 C.1433
m 3
D.2833m 3 6.函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移6
π
个单位长度，得到函数g(x)的图象，则
A.g(x)＝sin2x
B.g(x)＝cos2x
C.g(x)＝sin(2x ＋
23π) D.g(x)＝cos(2x ＋23
π
) 7.已知双曲线C ：
22
1412
x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若|OP|＝|PF 2|，则△PF 1F 2的面积为
A.32
B.43
C.92
D.83
8.在
ABCD 中，∠ADC ＝
3π
，CD ＝2AD ＝2，E 是CD 中点，则AE DB ⋅＝ A.－1 B.1 C.12 D.－1
2
9.已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，且a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，则公差d ＝ A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有()()
211212
x f x x f x x x -->0，
记a ＝f(1)，b ＝()f 22-，c ＝()
f 33
，则
A.c<a<b
B.a<b<c
C.c<b<a
D.b<c<a
11.已知三棱锥P －ABC 的底面ABC 是边长为2的等边三角形，若三棱锥P －ABC 的每个顶点都在球O 的球面上，且点O 恰好在平面ABC 内，则三棱锥P －ABC 体积的最大值为 A.
43 B.2
3
3 3
12.已知函数f(x)＝2xlnx 2x x 0
x 4x 1x 0->⎧⎨+-≤⎩
，，，若关于x 的方程f(x)－kx ＋2＝0有四个不同的实根，则实数k 的
取值范围是
A.(ln2－1，2)
B.(0，2)
C.(ln2－1，0)
D.(－1，＋∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若x ，y 满足约束条件x y 40
x 2y 402x y 20--≤⎧⎪
+-≤⎨⎪--≥⎩
，则z ＝x －4y 的最大值为 。
14.函数y ＝
1cosx
sinx
-
的最小正周期是 。 15.已知F 1，F 2是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，过F 2的直线与椭圆交于P ，Q 两点，若PQ ⊥
PF 1且|QF 1|＝2|PF 1|，则
2
2
PF QF ＝ 。 16.已知数列{b n }是公比q ＝2的等比数列，数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝
12，12
n n 112
n n 1b b b b 1a a a a +-+
+⋅⋅⋅+=+(n ≥2且n ∈N ＋)，则数列n n b a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和S n ＝ 。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。 17.(12分)
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asin2C ＝csinA 。 (1)求角C ；
(2)若2a ＋b ＝12，且△ABC 的面积为43，求c 。 18.(12分)
如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，DD 1的中点。
(1)求证：平面BC 1F//平面AD 1E ；
(2)求平面BCC 1B 1与平面AD 1E 所成锐二面角的余弦值。 19.(12分)
某品牌汽车4S 店对2021年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用y 表示2021年第x 月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：
(1)求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测该店8月份的成交量；(a ，b 精确到整数)
(2)该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，奖项设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获2千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金。已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为
13，没有获得奖金的概率为1
2
。现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X(千元)的分布列及数学期望。
参考数据及公式：7
1
()()150i i i x x y y =--=∑，1
2
1
()()
ˆˆˆ,()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
a
y bx x x ==--==--∑∑。 20.(12分)
已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝2x －1与抛物线交于M ，N 两点，且|MF|＋|NF|＝4。 (1)求抛物线C 的方程；
(2)若P(4，m)(m>0)是抛物线C 上一点，过点Q(1，－4)的直线与抛物线C 交于A ，B 两点(均与点P 不重合)，设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值。 21.(12分)
已知函数f(x)＝e x －ax －cosx ＋ln(x ＋1)，其中a ∈R 。 (1)当a ＝0时，求函数f(x)在区间[0，2]上的最值；
(2)是否存在实数a ，使得f(x)在x ＝0处取得极小值？并说明理由。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x 1tcos y 3tsin α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)。以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝3。 (1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设A(1)，直线l与曲线C交于D，E两点，若|AD|＋|AE|＝，求直线l的普通方程。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝2|x－6|－|x|。
(1)求函数f(x)的值域；
(2)设函数f(x)的最小值为m，若正数a，b，c满足a＋b＋c＝m2，求
111
a1b2c3
++
+++
的最小值。
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