一节体现数学联系与历史的教学课例:勾股数的生成公式
一节体现数学联系与历史的教学课例：勾股数的生成公式
作者：赵千惠 张维忠
来源：《中学数学杂志(初中版)》2021年第05期
        【摘要】基于充分發挥数学史在数学教育中的重要作用，挖掘勾股数与斐波那契数列之间的密切关联，设计了一节以勾股数的生成公式为主题的教学课例，展示了学生多角度处理同一数学问题的直观体验.
        【关键词】勾股数;教学课例;数学史;数学联系
勾股定理的历史        勾股定理是一条古老的数学定理，不论什么国家、什么民族，只要是具有自发的（不是外来的）古老文化，他们都会说：我们首先认识的数学定理就是勾股定理[1].而勾股数作为勾股定理的子概念，不仅具有重要的应用价值，而且其所蕴含的数学思想方法更有教育价值，因此备受关注.譬如，以勾股数为载体的中考题时有所见：
        （2017年宜昌第20题）阅读：能够成为直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其中的勾股数公式为：
        其中m>n>0，m，n是互质的奇数.
        应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边的长.
        此外，2005年山西临汾、2004年福建三明等其他地区中考题中也均出现了该主题内容，以探求勾股数的相关规律及凸显其实用性.
        可见，在初中阶段学完勾股定理及其逆定理的相关内容后，给学生拓展《勾股数的生成公式》一课，重新经历历史上人们的探索过程，从而体会求勾股数的数学思想方法，感受勾股数所蕴涵的数学精神和价值就显得十分必要[2].同时，教师在处理教学内容时，应深入挖掘与其它数学知识的关联，并在教学中通过适当的方式呈现出来，让学生感到数学是有趣的，好玩的，美妙的[3].基于此，本文给出一节笔者设计的数学教学课例，充分发挥数学史在数学教育中的重要作用，同时为学生提供一次感受数学知识之间密切联系的机会.
        1课例：勾股数的生成公式
        1.1提出问题，探索勾股数的生成公式
        师：我们已经学过了勾股定理及其逆定理，把满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为勾股数，在西方则叫做毕达哥拉斯三元数组.从古巴比伦的数学泥板见证了人类历史上最早有关勾股数的研究开始，再到我国数学文献《周髀算经》中记载的“勾广三，股修四，径隅五”，
无不彰显了勾股数在人类探索自然的悠悠历史长河中扮演着的重要角及古人们闪烁的智慧光芒.那么，古代数学家们究竟是如何得到这一组组神奇的勾股数的呢？为了写出更多的勾股数，能否到勾股数的生成公式？今天我们就来探究这个问题.
        生1：我认为可以采用归纳推理的方法，由特殊到一般，即先列举出几组我们已知的勾股数，发现它们之间的规律，再进一步总结出一般规律.
        生2：勾股数必然是和勾股定理密切相关的，而有关勾股定理最重要的一个公式就是a2+b2=c2，所以可以从这个已知的公式入手.
        生3：勾股数肯定要涉及到平方的运算，我想到我们已经学过了乘法公式，而这些式子里面就都包含了很多数或式的平方，可以此为突破口，对乘法公式进行整合，看看是否能构造出a2+b2=c2的形式.
        ……
        师：这些思路都非常棒！请大家先自行思考再和组员交流，说说你们的发现.
        1.2小组汇报，古代数学家再现课堂
        生1（组1）：首先例举出几组已知的勾股数并把a，b，c三个数按从小到大的顺序排列，然后把它们进行有规律的分类.可以发现：当a为奇数时，c-b=1，如3，4，5;5，12，13;7，24，25等;当a为偶数时，c-b=2，如6，8，10;8，15，17;12，35，37等.对于这两种情况，分别和等式a2+b2=c2联立，可以得到求勾股数的两个公式：
        （1）当a为奇数时，a，a2-12，a2+12是一组勾股数;
        （2）当a为偶数时，a，a24-1，a24+1是一组勾股数.
        生4（组1）：除此之外，我们在讨论的过程中还发现了其他三条有关勾股数的小规律：
        （1）已知a，b，c是一组勾股数，则ka，kb，kc也是一组勾股数;
        （2）a，b，c不能全是奇数;
        （3）在a，b，c中，只有一个数是偶数或者三个数都是偶数.
        师：组1同学所推导出来的公式和古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯的结论不谋而合！当然，毕达哥拉斯只是给出了a为奇数时勾股数的生成公式，而同学们还充分考虑了a为偶数
的情况，让我们为组1的这些小小毕达哥拉斯们鼓掌！
        师：今天可真是一场数学家欢聚一堂的盛宴呀！生2所述公式和古希腊数学家欧几里得给出的公式一致，只是后者进一步限定了m，n的取值范围（m，n都是奇数或都是偶数，且mn是完全平方）.而生5则站在不同的视角，还原了我国魏晋时期数学家刘徽求勾股数的推导过程.值得一提的是，组2同学所给出的两种方法均是基于②式展开的，谁能说说②式的几何意义是什么？
        生6：②式是①式的变形，所以我认为两个式子的几何意义是一样的，都是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
        师：的确，①式变形得到②式，但这仅仅只能说明二者的代数运算结果是保持一致的，它们的几何意义必然有所不同.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》所作勾股圆方图注中除了勾股定理这一命题外，还有与直角三角形有关的其他命题及其证明，这四条命题在《九章算术》勾股章及刘徽注文中也有所反映[4].其中前两条命题就明确地阐述了②式的几何意义（图1），即通过割补法，得到股实之矩的面积b2=c2-a2=（c-a）（c+a）.
        师：这就是历史上古希腊数学家丢番图给出的求勾股数的公式.但是，不难发现这个公式和刘徽所导出的公式（生5所述）一样，没有办法给出诸如9，12，15;15，36，39等勾股数.所以后来人们把这组公式推到了更为一般的形式，使其能表示出所有的勾股数，即2mnr，（m2-n2）r，（m2+n2）r，其中r∈Z.需要说明的是，在运用推广后的公式求勾股数时，它的缺点是容易遗漏和重复勾股数.那么，现在请大家重新审视毕达哥拉斯（生1所述）和欧几里得（生2所述）给出的公式，你有何发现？
        生7：虽然这两种方法确实能够生成勾股数，但均存在一定缺陷，会发生重解、漏解的情况.如根据生1给出的a为偶数情况下的公式，可以算出32，255，257这组勾股数，但是没法算出32，60，68这组勾股数.再如，在欧几里得给出的公式中，取m=9，n=1或m=8，n=2时，所得勾股数均为3，4，5;取m=18，n=2或m=16，n=4时，所得勾股数均为6，8，10，存在重解的情况.
        师：因此，为了不重复、不遗漏地得到勾股数且易于操作，给大家介绍一种清代算学家沈立民所创造的求勾股数公式的方法.将a=3，b=4，c=5作为第一组勾股数代入以下公式：
        从而得到三组新的勾股数，再将三组新的勾股数代入上述公式，又得到另外九组勾股数，
以此类推.其特点是继承了中国传统算法，通过反复迭代而得到一定数区间内的所有勾股数，具有程序化特点[2].
        1.3开阔视野，介绍斐波那契数列
        师：可见，勾股数的生成公式一直以来都备受广大数学研究者的关注，人们从未停止过对其的探索步伐.那么，是否还有其它生成勾股数的方式呢？接下来，老师就带领着大家一起打开数学天窗，站在一个全新的视角，继续探索更多有关勾股数的奥秘！
        （教师在此部分为学生拓展有关斐波那契数列的相关背景及基本知识，具体素材在文[1]150-154中有详细介绍，此处不再赘述）
        1.4建立联系，实现二者的完美邂逅
        师：想必大家对斐波那契数列这串神奇的数字密码已不再陌生，现在请回到今天的课堂主题中来，你能否利用斐波那契数列推导出勾股数的生成公式，实现二者的完美邂逅呢？
        生8：因为勾股数必然会涉及到数的平方，所以我把斐波那契数列中的每个数依次平方
后得到一串新的数字1，1，4，9，25，64，169，441，1156，3025，…我尝试着把前后两个数字相加，但并未如愿得到一组勾股数.不过，我对比了平方前后的两个数列发现，后者任意相邻的数字相加后的结果都属于前者，如22+32=4+9=13，而13正是斐波那契数列的第7项.

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