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河南省专升本考试高等数学模拟3



一、单项选择题
(在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案)
问题:1.  若φ(t)=t3+1，则φ(t3+1)=______
A.t3+1
B.t6+1
C.t6+2
D.t9+3t6+3t3+2
答案:D[解析] 由于φ(t)=t3+1，φ(t3+1)=(t3+1)3+1=t9+3t6+3t3+1+1=t9+3t6+3t3+2，故应选D．
问题:2.  下列函数中，为奇函数的是______
    A．
    B．bx2sinx
    C．
    D． 
答案:B[解析] 对于B项，由于f1(x)=bx2为偶函数，f2(x)=sinx为奇函数，故f(x)=f1(x)·f2(x)为奇函数，故应选B．
问题:3.  函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图形对称于直线______
A.y=0
B.x=0
C.y=x
D.y=-x专升本考试时间河南
答案:C[解析] y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像关于y=x对称，本题选C．
问题:4.  若函数f(x)在某点x0极限存在，则______
A.f(x)在x0的函数值必存在且等于极限值
B.f(x)在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值
C.f(x)在x0的函数值可以不存在
D.如果f(x0)存在则必等于极限值
答案:C[解析] 由极限存在性与函数值的关系可知本题选C：f(x)在x=x0存在极限是f(x)在x=x0连续的必要非充分条件．
问题:5.  当x→0+时，与等价的无穷小是______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:B[解析] 根据常见的等价无穷小量可知，选项B与等价，而A、C、D与均不等价．故应选B．
问题:6.  下列极限计算正确的是______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:B[解析] A项中，A错；B项中，B正确；C项中极限不存在，D项中极限值为0，本题应选B．
问题:7.  点x=0是函数的连续点，则a=______
    A．1
    B．
    C．-2
    D． 
答案:D[解析]
    因为f(x)在x=0处连续，所以即故应选D． 
问题:8.  ______
A.1
B.2
C.0
D.不存在
答案:A[解析] 故应选A．
问题:9.  若函数y=f(u)可导，u=ex，则dy=______
A.f'(ex)dx
B.f'(ex)dex
C.f'(x)exdx
D.[f(ex)]'dex
答案:B[解析] 由于y=f(u)可导，所以dy=d[f(u)]=f'(u)du=f'(ex)dex，故选B．
问题:10.  设f(x)为可导函数，且满足则f'(1)=______
A.2
B.-1
C.1
D.-2
答案:A[解析]
    所以f'(1)=2.故应选A． 
问题:11.  已知f(a)=g(a)，当x≥a时，f'(x)＞g'(x)，则当x≥a时必有______
A.f(x)≥g(x)
B.f(x)≤g(x)
C.f(x)=g(x)
D.以上全不成立
答案:A[解析] 当x≥a时，f'(x)＞g'(x)，得F'(x)=f'(x)-g'(x)＞0，
    所以F(x)=f(x)-g(x)是增函数，
    又f(a)=g(a)，故当x≥a时，F(x)≥F(a)=0，
    即f(x)≥g(x)，故应选A． 
问题:12.  设则______
A.t2
B.2t
C.-t2
D.-2t
答案:D[解析] 故应选D．
问题:13.  ______
    A．
    B．-2x(1+x6)
    C．
    D． 
答案:A[解析] 应选A．
问题:14.  设在[0，1]上f"(x)＞0，则f'(0)，f'(1)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)几个数的大小顺序为______
A.f'(1)＞f'(0)＞f(1)-f(0)
B.f'(1)＞f(1)-f(0)＞f'(0)
C.f(1)-f(0)＞f'(1)＞f'(0)
D.f'(1)＞f(0)-f(1)＞f'(0)
答案:B[解析] 由拉格朗日中值定理知f(1)-f(0)=f'(ξ)，其中ξ∈(0，1)．由于f"(x)＞0，f'(x)单调增加，故f'(0)＜f'(ξ)＜f'(1)．即f'(0)＜f(1)-f(0)＜f'(1)．故应选B．
问题:15.  曲线y=xe-x的拐点是______
A.(0，0)
B.(2，2e-2)
C.(1，e-2)
D.(1，e-1)
答案:B[解析] 因为y'=(1-x)e-x，y"=(x-2)e-x，令y"=0得x=2，当x＜2时，y"＜0，当x＞2时，y"＞2，故拐点坐标为(2，2e-2)，故应选B．
问题:16.  若则∫xf'(x)dx=______
    A．
    B．
    C．xlnx-x+C
    D． 
答案:D[解析] 由得
   
    故应选D． 
问题:17.  若f'(ex)=1+x，则f(x)=______
A.xlnx+C
B.2x+xlnx+C
C.1+lnx
D.xex+C
答案:A[解析] 令ex=t，则x=lnt，f'(t)=1+lnt，f(t)=∫(1+lnt)dt=tlnt+C，所以f(t)=xlnx+C，故应选A．
问题:18.  广义积分______
    A．
    B．
    C．
    D．发散 
答案:A[解析]
    故应选A． 
问题:19.  若d[f(x)]=d[g(x)]，则下列结论成立的是______
A.f(x)=g(x)
B.∫f(x)dx=∫g(x)dx
C.d∫f(x)dx=d∫g(x)dx
D.f(x)-g(x)=C
答案:D[解析] 由d[f(x)]=d[g(x)]，得f(x)-g(x)=C．故应选D．
问题:20.  设f(x)是连续函数，则是______
A.f(x)的一个原函数
B.f(x)的全体原函数
C.2x·f(x2)的一个原函数
D.2x·f(x2)的全体原函数
答案:C[解析] 因为所以是2x·f(x2)的一个原函数，故选C．
问题:21.  微分方程y"+x2(y')3-sinxy=0的阶数是______
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B[解析] 微分方程的阶指的是未知函数的最高阶导数的阶数，所给方程为二阶微分方程．故应选B．
问题:22.  下列微分方程中，是一阶线性非齐次方程的是______
    A．(y2-x)dy=ydx
    B．y'=e2x-y
    C．xy'+y=0
    D． 
答案:A[解析] 选项A整理为是关于x的一阶线性非齐次方程，而B中方程不是一阶线性方程，C是一阶线性齐次方程，D是齐次微分方程，故应选A．
问题:23.  设a和b是非零向量，则(a+b)×(a+2b)=______
A.a×b
B.3a×b
C.b×a
D.a2+3a×b+b2
答案:A[解析] (a+b)×(a+2b)=a×a+a×(2b)+b×a+b×(2b)
    =2a×b-a×b=a×b，
    故应选A． 
问题:24.  设则fx(1，1)=______
A.e
B.0
C.-1
D.1
答案:D[解析] 因为f(x，1)=ex-1，所以fx(x，1)=ex-1，fx(1，1)=e0=1.故应选D．
问题:25.  二元函数在点(0，0)处______
A.连续，偏导数存在
B.连续，偏导数不存在
C.不连续，偏导数存在
D.不连续，偏导数不存在
答案:C[解析] 因为不存在(若沿x轴→(0，0)时，极限为0，若沿直线y=x→(0，0)时，极限为，所以在(0，0)点函数无极限)．所以函数在(0，0)点处不连续．而
   
    同理偏导数在(0，0)点处存在． 
问题:26.  如果区域D被分成两个子区域D1和D2，且则______
A.8
B.4
C.6
D.2
答案:A[解析] 根据二重积分的性质知
    故应选A． 
问题:27.  设交换积分次序后I=______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:C[解析]
    所以 
问题:28.  如果L是摆线从点A(2π，0)到点B(0，0)的一段弧，则的值为______
A.e2π(1-2π)-1
B.2[e2π(1-2π)-1]
C.3[e2π(1-2π)-1]
D.4[e2π(1-2π)-1]
答案:C[解析] 令有故此积分与路径无关，取直线段从2π到0，则
   
    应选C． 
问题:29.  若级数在x=0处条件收敛，则级数在x=5处______
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散
D.不能判定敛散性
答案:C[解析] 由已知条件知，收敛半径为R=2.所以级数在(0，4)内绝对收敛，在(-∞，0)和(4，+∞)内发散，由此可知在x=5处发散，故选C．
问题:30.  设级数收敛，则级数______
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散
D.敛散性要看具体的an
答案:A[解析] 因为
    又收敛，也收敛，
    从而也收敛．所以绝对收敛，故应选A． 



二、填空题
问题:1.  函数的定义域为______．
答案:(2，3][解析] 由|x-2|≤1，得1≤x≤3，且x＞2，故x∈(2，3]．
问题:2.  函数的间断点有______个．
答案:3[解析] 由于函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，0)∪(0，1)∪(1，+∞)，且函数在定义域内
连续，故函数的间断点为x=±1，x=0，有3个．
问题:3.  极限
答案:[解析]
问题:4.  曲线方程为3y2=x2(x+1)，则在点(2，2)处的切线方程为______．
答案:4x-3y-2=0[解析] 两边对x求导得6y·y'=3x2+2x，即
    切线方程为即4x-3y-2=0. 
问题:5.  ∫(lnx+1)dx=______．
答案:x·lnx+C[解析] ∫(lnx+1)dx=∫lnxdx+∫dx=x·lnx-∫fdx+∫dx=x·lnx+C．
问题:6.  设则
答案:[解析] 令对已知方程两边取定积分，得即即
问题:7.  设z=xy，则dz|(2，1)=______．
答案:dx+2ln2dy[解析] dz=yxy-1dx+xylnxdy,dz|(2,1)=dx+2ln2dy.
问题:8.  过点(1，0，-2)且与平面x-4z=3及平面3x-y-5z=1的交线平行的直线方程为______．
答案:[解析] 取所求直线的方向向量为
   
    则所求直线方程为 
问题:9.  微分方程y"-4y=0的通解是______．
答案:y=C1e-2x+C2e2x[解析] 特征方程为r2-4=0，解得r1=-2，r2=2，所以通解为y=C1e-2x+C2e2x．
问题:10.  函数关于x的幂级数展开式为______．
答案:[解析]



三、计算题
(每小题5分，共50分)
问题:1.  求极限
答案:
问题:2.  求函数y=x(cosx)sinx的导数
答案:y=x(cosx)sinx=x·esinxlncosx，
     
问题:3.  求不定积分
答案:
问题:4.  求定积分
答案:
问题:5.  求垂直于向量a=3i+6j+8k和x轴的单位向量．
答案:因为a={3，6，8}，
    所以
    所以，垂直于向量a与x轴的单位向量为
     
问题:6.  求函数f(x，y)=4(x-y)-x2-y2的极值．
答案:解方程组
    求得驻点为(2，-2)．
    fxx=-2，fxy=0，fyy=-2，即A=-2，B=0，C=-2.
    因为B2-AC=02-(-2)·(-2)=-4＜0，且A＜0，
    所以(2，-2)为函数的极大值点．
    极大值为f(2，-2)=8. 
问题:7.  计算二次积分
答案:由可知积分区域为
    D={(x，y)|0≤x≤1，x≤y≤1}，
    积分区域也可表示为D={x，y|0≤y≤1，0≤x≤y}，
    从而交换积分次序，得
   
     
问题:8.  求微分方程y"+5y'+4y=3-2x的通解．
答案:由r2+5r+4=0解得r1=-1，r2=-4，
    故对应齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e-4x，
    f(x)=3-2x，因为λ=0不是方程的特征根，
    所以可设特解为y*=ax+b，
    代入原方程，得4ax+5a+4b=-2x+3，
    比较系数得即
    所以原方程的通解为(C1，C2为任意常数)． 
问题:9.  求级数的收敛半径和收敛域(考虑区间端点)．
答案:
   
    当时，对应的数项级数为级数发散；
    当时，对应的数项级数为该级数收敛；
    所以原级数的收敛半径为，收敛域为 
问题:10.  求幂级数在其收敛区间内的和函数．
答案:因为
    所以幂级数的收敛半径R=1.故幂级数的收敛区间为(-1，1)．
    当x∈(-1，1)时，
     




四、应用题
(每小题7分，共14分)
问题:1.  求由曲面z=x2+2y2及z=3-2x2-y2所围成立体的体积．
答案:此立体的体积可看成两个曲顶柱体的体积之差，
    从方程组中消去z，得x2+y2=1，
    故两曲顶柱体的底面为xOy面上的圆域x2+y2≤1，所以所求立体体积
     
问题:2.  在某池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼1000尾，鱼数y是时间t(月)的函数，其变化率与鱼数y及1000-y之积成正比，已知在池塘内养鱼100尾，3个月后，池塘内有鱼250尾，求放养t月后池塘内鱼数y(t)的函数．
答案:由题意可得
    且满足y(0)=100，y(3)=250，方程化为
    即两边积分得
    即所以
    把条件y(0)=100，y(3)=250代入得
    故所求函数为 



五、证明题
(6分)
问题:1.  证明：当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2．
答案:[证明] 设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，f(1)=0.
   
    当0＜x＜1时，f'''(x)＜0，f"(x)单调减少，f"(x)＞f''(1)=2＞0，
    得f'(x)单调增加，f'(x)＜f'(1)=0，f(x)单调减少，
    于是f(x)＞f(1)=0，即(x2-1)lnx＞(x-1)2．
    当x＞1时，f'''(x)＞0，f"(x)单调增加，f"(x)＞f"(1)=2＞0，
    得f'(x)单调增加，f'(x)＞f'(1)=0，f(x)单调增加．
    于是f(x)＞f(1)=0，即(x2-1)lnx＞(x-1)2．
    当x=1时，(x2-1)lnx=(x-1)2．
    综上，当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2．

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