2021年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学〔必修+选修II 〕
本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。第一卷1至2页。第二卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一卷
考前须知：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。．．．．．．．．．． 3．第一卷共l2小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
一、选择题
1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，那么1zz z --=
A ．2i -
B ．i -
C ．i
D ．2i
2．函数0)y x =≥的反函数为
A ．2()4x y x R =∈
B ．2
(0)4
x y x =≥
C ．2
4y x =()x R ∈ D ．2
4(0)y x x =≥
3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是
A ．1a b +＞
B ．1a b -＞
C ．22a b ＞
D ．33a b ＞
4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，假设11a =，公差2d =，224k k S S +-=，那么k =
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移
3
π
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，那么ω的最小值等于
A ．
1
3
B ．3
C ．6
D ．9
6．直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．假设AB=2，AC=BD=1，
那么D 到平面ABC 的距离等于
A ．
3
B C D ．1
7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，
那么不同的赠送方法共有
A ．4种
B ．10种
C ．18种
D ．20种
8．曲线y=2x
e -+1在点〔0，2〕处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为
A ．
1
3 B ．
1
2
C ．
2
3
D ．1
9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，那么5()2f -=
A ．-
1
2
B ．1 4
-
C ．
14
D ．12
10．抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．那么cos AFB ∠=
A ．
4
5
B ．
35
C ．35
-
D ．45
-
11．平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成0
60二面角的平面β截该球面得圆N ．假设该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，那么圆N 的面积为
A ．7π
B ．9π
C ．11π
D ．13π
12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12
-，,a c b c --=0
60，那么c 的最大值等于
A ．2
B
C
D ．1
第二卷
考前须知：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．第二卷共2页，请用直径0．5毫米黑墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。
3．第二卷共l0小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分把答案填在题中横线上 〔注意：在试卷上作．．．．．
答无效．．．
〕
13．〔〕20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．y 2
14．a ∈〔
2
π
，π〕，tan2α=
15．F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 2
27
y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为〔2，0〕，AM 为
∠F 1AF 2∠的平分线．那么|AF 2| = ．
16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，那么面AEF
与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．〔本小题总分值l0分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
〕
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，a+c=2b ，求 C ．
18．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．〕
〔I 〕求该地1位车主至少购置甲、乙两种保险中的l 种的概率；
〔Ⅱ〕X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购置的车主数。求X 的期望。 19．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
〕 如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，
2,1AB BC CD SD ====．
〔Ⅰ〕证明：SD SAB ⊥平面;
〔Ⅱ〕求AB 与平面SBC 所成角的大小． 20．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
〕 设数列{}n a 满足10a =且
111
1.11n n
a a +-=--
〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕设1
1
1,, 1.n
n n n k n k a b b S n
+=-=
=<∑记S 证明：
21．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
〕 O 为坐标原点，F 为椭圆2
2
:12
y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=
〔Ⅰ〕证明：点P 在C 上；
全国高考最高分〔Ⅱ〕设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 22．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．〕 〔Ⅰ〕设函数2()ln(1)2
x
f x x x =+-+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞；
参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制订相应的评分细那么。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继局部的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继局部的给分，但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数，选择题不给中间分。 一、选择题
1—6 BBADCC 7—12 BAADDA 二、填空题 13．0 14．4
3
-
15．6 16．23
三、解答题：本大题共6小题，共70分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．解：由2a c b +=及正弦定理可得 sin sin 2sin .A C B +=
…………3分
又由于90,180(),A C B A C -=︒=︒-+故 2cos 2.C =
…………7分
因为090C ︒<<︒， 所以245,C C =︒-
18．解：记A 表示事件：该地的1位车主购置甲种保险；
B 表示事件：该地的1位车主购置乙种保险但不购置甲种保险；
C 表示事件：该地的1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种；
D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购置； 〔I 〕()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+ …………3分 ()()()()0.8.P C P A B P A P B =+=+= …………6分
〔II 〕,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=
~(100,0.2)X B ，即X 服从二项分布，
…………10分
所以期望1000.220.EX =⨯= …………12分 19．解法一：
〔I 〕取AB 中点E ，连结DE ，那么四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2， 连结SE ，那么, 3.SE AB SE ⊥= 又SD=1，故2
2
2
ED SE SD =+， 所以DSE ∠为直角。 …………3分
由,,AB DE AB SE DE
SE E ⊥⊥=，
得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。 SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。 所以SD ⊥平面SAB 。
…………6分
〔II 〕由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。
作,SF DE ⊥垂足为F ，那么SF ⊥平面ABCD ， 作FG BC ⊥，垂足为G ，那么FG=DC=1。 连结SG ，那么SG BC ⊥， 又,BC FG SG
FG G ⊥=，
故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。
…………9分
作FH SG ⊥，H 为垂足，那么FH ⊥平面SBC 。 3
7
SF FG FH SG ⨯=
=
，即F 到平面SBC 的距离为21.7 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有21
.7
设AB 与平面SBC 所成的角为α， 那么2121sin ,arcsin .77
d EB αα=
== (12)
分
解法二：
以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如下图的空间直角坐标系C —xyz 。
设D 〔1，0，0〕，那么A 〔2，2，0〕、B 〔0，2，0〕。
又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则
〔I 〕(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-，(1,,)DS x y z =-，
由||||AS BS =得 故x=1。
由22
||11,DS y z =+=得
又由222
||2(2)4,BS x y z =+-+=得
即22
13410,,.22
y z y y z +-+==
=故 …………3分
于是133333
(1,,
),(1,,),(1,,)222222
S AS BS =--=-， 故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又
所以SD ⊥平面SAB 。
…………6分
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