1978年全国统一高考数学试卷
1978年全国统一高考数学试卷
　
一、解答题（共11小题，满分120分）
1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．
　
2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．
　
3．（4分）求函数的定义域．
　
4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．
　
5．（4分）化简：
　
6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．
　
7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．
求证：（1）CD=CM=CN；
（2）CD2=AM•BN．
　
8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．
　
9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）
　
10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0．求证：．
　
11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）
（1）m是什么数值时，y的极值是0？
（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．
　
1978年全国统一高考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、解答题（共11小题，满分120分）
1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．
考点：
虚数单位i及其性质．
专题：
计算题．
分析：
直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．
解答：
解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．
（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．
（3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．
点评：
本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．
　
2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．
考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：
计算题；综合法．
分析：
由题设，设圆柱体的半径为r，由于侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长，即2πr=a，由此方程求得半径，再由直圆柱体的体积公式求体积即可．
解答：
解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h
因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长
所以有底面周长2πr=a，h=a，解得，
由公式圆柱体体积V=πr2h=．
答：直圆柱体的体积的体积是
点评：
本题考查正方形的面积公式与圆柱体的侧面积公式以及体积公式，是考查基本公式掌握熟练程度的一道题．
　
3．（4分）求函数的定义域．
考点：
对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
专题：
计算题．
分析：
使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负．
解答：
解：由题意知：x﹣1＞0 且 2﹣x＞0
解得1＜x＜2．
故函数定义域为（1，2）．
点评：
本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集．
　
4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．
考点：
两角和与差的正弦函数．
专题：
计算题．
分析：
先利用诱导公式使原式等于sin10°cos35°+cos10°sin35°，进而利用两角和公式化简整理，最后利用特殊角求得答案．
解答：
解：原式=sin10°cos35°+cos10°sin35°=sin（10°+35°）=sin45°=
点评：
本题主要考查了两角和公式，诱导公式的化简求值．属基础题．
　
5．（4分）化简：
考点：
根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
分析：
根据指数的运算性质逐步进行化简，求值即可得到答案．
解答：
解：原式==2•=
点评：
指数式的化简关键是熟练掌握指数的运算性质：①ar•as=ar+s（a＞0，r，s∈R）．②（ar）s=ar•s（a＞0，r，s∈Q）．③（a•b）r=ar•br（a＞0，b＞0，r∈Q）．
　
6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．
考点：
圆锥曲线的共同特征．
专题：
计算题．
分析：
（1）k=1，方程的图形是圆半径为2，当k＞1且k≠时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在y轴上；当1＞k＞0时方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在x轴上
（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2
（3））k＜0时，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，
解答：
解：（1）k＞0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k＞1时，长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=；②k=1时，为半径r=2的圆；③k＜1时，长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2
（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2如图：
（3）k＜0时，方程为，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，如图：
点评：
本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．属基础题．
　
7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．
求证：（1）CD=CM=CN；
（2）CD2=AM•BN．
考点：
与圆有关的比例线段．
专题：
证明题．
分析：
（1）首先根据题中圆的切线条件得二组角相等，再依据全等三角形的判定定理得两三角形全等，从而证得线段相等；
（2）在直角三角形ABC中应用射影定理求得一个线段的等式，再根据线段的相等关系可求得CD2=AM•BN．
解答：
全国高考最高分证明：（1）连接CA、CB，
则∠ACB=90°∠ACM=∠ABC，∠ACD=∠ABC
∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC
∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN
（2）∵CD⊥AB，∠ACD=90°
∴CD2=AD•DB
由（1）知AM=AD，BN=BD
∴CD2=AM•BN．
点评：
本题考查与圆有关的切线性质、全等三角形的判定以及平面几何的射影定理，属容易题．
　
8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．
考点：
对数的运算性质．
分析：
根据指数与对数式的互化，可先将18b=5化为log185=b，然后代入即可得到答案．
解答：
解：∵18b=5，∴log185=b
∴
点评：
本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的换底公式．一定要掌握对数的运算法则．
　
9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）
考点：
同角三角函数基本关系的运用；等差数列的性质；三角形中的几何计算．
专题：
计算题．
分析：
△ABC的三内角的大小成等差数列，求出B=60°，A+C=120°，利用两角和的正切，求出tgA+tgC，然后求出tgA，tgC，求出A，C的值，利用任意角的三角函数求出a，b，c．
解答：
解：A+B+C=180°又2B=A+C．∴B=60°，A+C=120°
∵
而tgA+tgC=（1﹣tgAtgC）tg（A+C）=．（2）
由（1）（2）可知tgA，tgC是=0的两根．解这方程得：
x1=1，x2=2+设A＜C，则得tgA=1，tgC=2+．
∴A=45°，C=120°﹣45°=75°又知c上的高等于4，
∴a==8；b=；
c=AD+DB=bcos45°+acos60°=4．
点评：
本题考查同角三角函数基本关系的运用，等差数列的性质，三角形中的几何计算，考查计算能力，是中档题．
　
10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0．求证：．
考点：
同角三角函数基本关系的运用．
专题：
证明题．
分析：
欲证：．往往通过转化为证明其某一三角函数值是一个特殊值得到证明，利用题中的两个关系，我们先求sin（α+2β）的值即可解决问题．
解答：
解：由3sin2α+2sin2β=1，得：3sin2α=cos2β．
．．
∴sin22β+cos22β=9sin2αcos2α+9sin4α
∴9sin2α=1．
∴sinα=（α为锐角）
∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα（3sin2α）+cosα（3sinαcosα）
=3sinα（sin2α+cos2α）=3sinα=1
∴．
点评：
本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用以及二倍角公式，证明的关键是求出sin（α+2β），是一道三角变换的中档题．
　

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