2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国）
理科数学
（试题及答案解析）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则中元素的个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】表示圆上所有点的集合，表示直线上所有点集合，
故表示两直线与圆的交点，由图可知交点个数为2，即元素的个数为2，故选B.
2．设复数z满足，则（）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题，，则，故选C.
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.
4．的展开式中的系数为（）
A． B． C．40 D．80
【答案】C
【解析】由二项式定理可得，原式展开中含的项为
，则的系数为40，故选C.
5．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为，则①
又∵椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则②
由①②解得，则双曲线的方程为，故选B.
6．设函数，则下列结论错误是（）
A．的一个周期为 B．图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
【答案】D
【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到，
如图可知，在上先递减后递增，D选项错误，故选D.
7．执行右图程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为（）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示：
初始状态 0 100 1
第1次循环结束 100 2
第2次循环结束 90 1 3
此时首次满足条件，程序需在时跳出循环，即为满足条件的最小值，故选D.
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径，
则圆柱体体积，故选B.
9．等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（）
A． B． C．3 D．8
【答案】A
【解析】∵为等差数列，且成等比数列，设公差为.
则，即
又∵，代入上式可得
又∵，则
∴，故选A.
10．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵以为直径为圆与直线相切，∴圆心到直线距离等于半径，
∴
又∵，则上式可化简为
∵，可得，即
∴，故选A
11．已知函数有唯一零点，则（）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】由条件，，得：
∴，即为的对称轴，
由题意，有唯一零点，
∴的零点只能为，
即，
解得．
12．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切圆上．若，则的最大值为（）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意，全国高考最高分画出右图．
设与切于点，连接．
以为原点，为轴正半轴，
为轴正半轴建立直角坐标系，
则点坐标为．
∵，．
∴．
∵切于点．
∴⊥．
∴是中斜边上的高．
即的半径为．
∵在上．
∴点的轨迹方程为．
设点坐标，可以设出点坐标满足参数方程如下：
而，，．
∵
∴，．
两式相加得：
(其中，)
当且仅当，时，取得最大值3．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若x，y满足约束条件则的最小值为________．
【答案】
【解析】由题，画出可行域如图：
目标函数为，则直线纵截距越大，值越小．
由图可知：在处取最小值，故．
14．设等比数列满足，，则________．
【答案】
【解析】为等比数列，设公比为．
，即，
显然，，
得，即，代入式可得，
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