湖南省宁远县第一中学2024年高三暑期作业反馈（开学考试）数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知x 与y 之间的一组数据： x 1 2 3 4 y m
3.2
4.8 7.5 若y 关于x 的线性回归方程为 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ）
A ．1.5
B ．2.5
C ．3.5
D ．4.5
2．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ）
A ．2
B ．4
C ．12
D ．8
3．设12,F F 分别是双线2
221(0)x y a a
-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±= B ．30x y ±= C ．30x y ±= D ．30x y ±=
4．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）
A ．4383π+
B ．2383π+
C ．343π+
D ．8343
π+ 5．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）
A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
6．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知集合{}
}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂= A ．}{43x x -<< B ．}{42x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x <<
8．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A ．α内有无数条直线与β平行
B ．α内有两条相交直线与β平行
C ．α，β平行于同一条直线
D ．α，β垂直于同一平面
9．函数()256f x x x =-+ ）
A ．{2x x ≤或}3x ≥
B ．{3x x ≤-或}2x ≥-
C ．{}23x x ≤≤
D ．{}32x x -≤≤- 10．若i 为虚数单位，则复数112i z i +=
+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则
A ．log a c ＜log b c
网购注意事项B ．log c a ＜log c b
C ．a c ＜b c
D ．c a ＞c b
12．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )
A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且23m =
B ．直线1A E 与直线1
C F 共面，且23m = C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且33m =
D ．直线1A
E 与直线1C
F 共面，且33m = 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．
14．函数()12x f x -的定义域是__________．
15．已知,i j 是夹角为90︒的两个单位向量，若=+a i j ，b j =，则a 与b 的夹角为______.
16．已知平面向量a 与b 的夹角为3
π，(3,1)a =-，1b ||=，则|2|a b -=________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆C ()222210,0y x a b a b +=>>的长轴长为4，离心率32
e = （1）求椭圆C 的方程；
（2）设,A B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由.
18．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，13AA =，过顶点A ，1C 的平面与棱1BB ，1DD 分别交于M ，N 两点（不在棱的端点处）.
（1）求证：四边形1AMC N 是平行四边形；
（2）求证：AM 与AN 不垂直；
（3）若平面1AMC N 与棱BC 所在直线交于点P ，当四边形1AMC N 为菱形时，求PC 长.
19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）.
（Ⅰ）证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；
（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --6N 点位置；若不存在，说明理由. 20．（12分）已知函数1()lnx f x x +=
（1）若1()f x ax x
<+恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若方程()f x m =有两个不同实根1x ，2x ，证明：122x x +>．
21．（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人） 经常网购 偶尔或不用网购
合计 男性 50
100 女性 70
100
（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？ （2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．
参考公式：()()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
22．（10分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ．
（1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望．
（附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，
(33)0.997P μσξμσ-<<+=）
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