基于中学数学与大学数学衔接的思考
2020年第19卷第16期
基于中学数学与大学数学衔接的思考
文科三本大学□陈博照
【内容摘要】大学数学是大学理工类、经管类专业的必修学科，在大学的教学活动中占了很大的比重。此外，中学数学在不断的实施新课标改革，中学数学与大学数学的衔接问题越来越突出。本人从大学数学教学过程中遇到的一些问题出
发，对中学数学与大学数学衔接的几个问题进行探讨，提出了两个不同阶段数学教与学的一些衔接方法。
【关键词】中学数学；大学数学；教学衔接
【基金项目】本文为2019年度广东白云学院校级项目“工程数学网络辅导课程建设与应用”（编号：BYJY201906）研究成果。【作者简介】陈博照（1988．10 ），男，广东汕头人，广东白云学院教育与体育学院助教，硕士；研究方向：试验设计与非参数统计
国内正常教学体系下的数学，要经历几次升学的转变，其中最不受重视，而思维、逻辑转变最大的当属中学数学到大学数学的变化。很多初入大学校园的学生在刚接触高等数学的时候，由于在中学形成的思维定
势、文理科数学的教学内容与学习要求上的差异，无法适应大学数学的教学方式与思维方法，甚至出现了高考成绩越突出大学数学学习起来越吃力的现象。这篇文章从几个角度出发，探讨中学数学与大学数学在衔接过程中出现的问题，并提出了对应的解决策略，从而让初上大一的广大学子能够更快更有效地进入大学的学习环境中。
一、中学数学与大学数学衔接过程中所遇到的问题
（一）知识的重叠。在高中阶段，学生都学习了导数的概念，懂得解决简单的导数问题，学习优秀者还掌握了运用导数求解函数的单调性与极值。但这些所谓的“掌握”只停留在按部就班、机械化的训练所形成的固定的解题套路上。几乎超过90%的学生不理解导数的概念，不明白为什么可以用导数来描述函数的单调性与极值，对导数这一知识点的来龙去脉一无所知。这就造成了一个严重的后果，学生在大学数学课堂的学习过程中认为自己已经掌握了这部分内容，对导数部分的学习掉以轻心，无法像一个初学者一般的认真研习概念、推演公式和举一反三。最终，学生对导数的认知仍然停留在高中阶段那种“知其然，而不知其所以然”的状态，但我们知道极限与微分是整个微积分的基础，是万丈高楼的地基。同样的情况还出现在解析几何、定积分等知识点上。
（二）知识的断层。由于高中阶段数学分为文科数学与理科数学，高考大纲对二者的要求不相同，二者在高中阶段的教学内容不尽相同，所用教材也不一样，如计数原理、排列组合、随机变量与空间解析几
何这些知识点不会出现在文科数学的教学过程中，这就可能导致同一个专业同一个班级的学生在同一知识的认识上出现较大的差异。一个最为突出例子：经管类专业的学生在高中阶段大部分是文科生，在给经管类班级讲授《概率论与数理统计》课程中发现绝大部分学生对排列组合等计算原理知识一无所知，在计数过程中采用的是枚举法。然而，大学课程所用大多数教材的编写都是基于排列组合这一基本知识之上，在教学过程“默认”了学生已具备这一基本知识。这就出现了很严重的知识断层，学生从首课开始就注定无法跟上授课的进度。高等数学中反三角函数、三角函数的和差积互化公式与立方和差公式等内容也出现了上述同样的问题。
（三）思维的差异。中学数学与大学数学的思维方式存在较大的差异。高中数学的总体思维模式是“模型化思想”与“固定思维”，强调的是具体化的知识点、问题与方法相结合形成的一套思维模式；而大学数学的思维模式中，最重要的是“极限思维”与“抽象思维”。这两种截然不同的思维方式让很多大一新生无法接受最基本的“ε－N”、“ε－δ”定义，对这种严谨的数学定义不知所云。学生对着最基础最重要的极限概念“吃不透”，可想而知后面学习连续、微分和积分将会非常吃力。
鉴于这些普遍存在的问题，做好中学数学与大学数学的衔接就成为广大教师与学生要解决的问题。
二、知识断层的填补
作为大一新生的第一位数学教师，应该对高中课本与中学课程标准有一定的了解，这可以更清晰地了解
学生的知识储备与知识结构，针对学生高中已学与大学将学知识内容的断层进行适当的填补。一般的，正式课程前的预备知识包括：《高等数学》中反函数的概念以及反三角函数、立方和差等高次多项式的分解、三角函数的和差化积与积化和差公式、琴生不等式、空间解析几何等；《概率论与数理统计》中计数原理与排列组合、计数方法、等可能概型等。在这个过程中，每个专业、每个班级的实际情况各不相同，教师可以通过调查问卷等形式了解学生的基本情况。
教学过程中，教师应把握好教学进度，由慢而快，从易到难，使学生在接触预备知识的过程中有充分的时间来适应大学的学习环境与学习方式，让学生有足够的信心来填补知识盲区，避免日后学习新知识的过程中学习兴趣与成就感的丧失，从而提高学生的学习积极性。
三、教学方法的雕琢
教学过程中，教师在讲授新内容、新概念的时候，应当多思考所讲内容对已形成思维定势的学生是否能够接受，在此过程中应添加与之相关的中学知识加以联系补充。例如：
2020年第19卷第16期
《高等数学》中最基本也最重要的极限概念，很多学生在学习极限时，无法正确的理解无穷这一抽象的概念，毕竟它与中学数学那些客观性、可描述性的概念不同。此时，可以借助中小学的一个基本常识来
讲解———0.999·=1。这是一个既能够引起学生听课兴趣，又能让学生很好的理解无穷概念的例子。而等比数列的部分和计算是刚经历高考的他们再熟悉不够的知识了。通过高中阶段掌握得内容来推导出新的知识点，从而建立联系，最后构造完整的知识体系，是学生们最容易接受且印象深刻的教学方式。再者，这种方式能够很好的引导学生思考，通过不同角度的认识与理解已有知识，对其进行合理的推演，得出新的概念，从而实现旧思维方式到新思维方式的转变。大学数学中，有很多可以通过这种“搭桥推演法”来帮助学生理解的内容，如导数概念、定积分概念等。在推演的过程中让学生自然而然的达到思维的锻炼与提升，而不是生搬硬套的背定理、记公式。
四、案例———《概率论与数理统计》
接下来用一个案例来阐述如何在教学过程中做好知识的填补与教学方法的提升。以概率统计为例，在《普通高中课程标准实验教科书·数学（人教版）》教材中共有三本教材涉及到概率统计的知识，其中第一本是文理通用的必修3；第二本是适用于文科学生的选修1 2；第三本是适用于理科生的选修2 3。
必修3作为全体高中生的必修教材，将概率与统计两部分最基本的内容以简明的方式呈现给学生。统计部分，包括了随机抽样、用样本估计总体与变量间的相关关系，从如何获得样本到如何处理样本，再到如何通过样本去分析总体，章节间层层递进，从现实生活中常见的例子引导学生正确的理解统计的思想，以及统计学与数学间的思维差异；概率部分，包括了随机事件的概率、古典概型与几何概型，在学
生们未接触计数原理的情况下介绍了最常见的两个概率模型，教材在这部分内容的处理上加入了抽样背景与实际例子，既能承接统计内容又能让学生更好地理解概念。
文科数学在必修3的基础上，还要学习选修1 2的两个内容———独立性检验与线性回归分析，这部分内容是进一步培养文科学生对数据的整理能力与分析能力，可以说是对必修3中统计内容的升华；而选修2 3除了这两个内容外，还对计数原理与随机变量的分布有所要求，可以说计数原理是大学概率论的基础，缺失了这一部分内容学习概率论将会非常吃力。
大学的概率统计课程是理工科学生与经管类专业学生的必修课程，以浙江大学编著的《概率论与数理统计（第四版）》为例，该教材是非理学专业考研的指定教材，具有一定的代表性。在教材的第一章《概率论的基本概念》中并没有计数原理的相关内容，但却在等可能概型这一节中直接使用了排列组合的方法，对高中阶段没有学习过计数原理的文科生来说，这无疑是一个巨大的挑战。针对这种情况，有必要进行相应的知识填补，在正式进行教材学习之前，应适当的增加一些学时用于对计数原理的讲授。安排如下。
（一）第一次课两个计数原理（2学时）。
1．分类相加计数原理。文科学生在高中阶段仅学过枚举法计数，因此从分类相加法入手能很好的联系已有的知识体系，构建新的框架。再者，分类相加法是组合数的基础，是古典概型求概率的常用计数方
法。
2．分步相乘计数原理。分步相乘法是非常重要的一个计数原理，它是排列数的基础，对学生理解相互独立等后期的概念很有帮助。
（二）第二次课排列组合（4学时）。
1．排列组合。排列组合是计数的一个重要手段，是古典概型求概率的常用方法，通过之前对两个基本计数原理的学习可以很好的理解排列组合的概念，从而掌握使用方法。在教学过程中，通过对两个计数原理的拓展与推演，得出排列组合的原理，温故而知新。
2．计数方法的拓展。在计数过程中有很多特定的方法与原则，如“间接法”、“捆绑法”、“插空法”、“隔板法”、“特殊位置优先考虑原则”与“先组合后排列原则”等，这些方法常用于古典概型求概率的过程中。在教学过程中，要通过一些例子将这些拓展型的方法与技巧教授给学生，为后面学习概率与等可能概型奠定基础。
在新内容的教授之前，教师应该先对学生在高中阶段的已学内容进行一个高度的总结，让学生能清晰地认识到将学内容与已学内容之间的联系与区别。在备课的过程中，尽量以“备学生”为宗旨，了解学生的基本情况，制定相应的教学计划，不能让知识的断层与阶段差异变成学生的学习负担。总而言之，为了
更好地让学生从中学数学到大学数学平稳的过渡，教学要实现知识断层的衔接、思维方式的转变。这无疑对教师又提出了一个重大的任务，应当认真对待这个问题，通过合理的调查、收集和分析，科学的制定相应的教学计划，使大学数学的教学质量和学生们的学习能力得到进一步的提高。
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