2021年辽宁省普通高等学校招生考试适应性测试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。 1．已知M ，N 均为R 的子集，且
R
M ⊆N ，则M ∪(
R
N )＝
A ．Ø
B ．M
C ．N
D ．R
2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为 A ．1
6
B ．13
C ．12
D ．23
3．关于x 的方程x 2﹢ax ＋b ＝0，有下列四个命题： 甲：x ＝1是该方程的根； 乙：x ＝3是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号． 如果只有一个假命题，则该命题是 A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
4．椭圆x 2m 2＋1＋y 2m
2＝1(m ＞0)的焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，若∠F 1AF 2＝π
3，则m ＝
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．2
5．已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin<a ，c >＝
A ．
7
3
B ．
23
C ．
79
D ．
29
6．(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数是
A ．60
B ．80
C ．84
D ．120
按秘密级事项管理
7．已知抛物线y 2＝2px 上三点A (2，2)，B ，C ，直线AB ，AC 是圆(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，则直线BC 的方程为 A ．x ＋2y ＋1＝0 B ．3x ＋6y ＋4＝0 C ．2x ＋6y ＋3＝0
D ．x ＋3y ＋2＝0
8．已知a ＜5且a e 5＝5e a ，b ＜4且b e 4＝4b e ，c ＜3且c e 3＝3e c ，则
A ．c ＜b ＜a
B ．b ＜c ＜a
C ．a ＜c ＜b
D ．a ＜b ＜c
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知函数f (x )＝x ln(1＋x )，则
A ．f (x )在(0，＋∞)单调递增
B ．f (x )有两个零点
C ．曲线y ＝f (x )在点(－12，f (1
2))处切线的斜率为－1－ln2
D ．f (x )是偶函数
10．设z 1，z 2，z 3，为复数，z 1≠0．下列命题中正确的是
A ．若| z 2|＝| z 3|，则z 2＝±z 3
B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3
C ．若－z 2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|
D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2
11．右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中
A ．AE ∥CD
B ．CH ∥BE
C ．DG ⊥BH
D ．BG ⊥DE
12．设函数f (x )＝cos2x
2＋sin x cos x
，则
A ．f (x )＝f (x ＋π)八省联考哪八省
B ．f (x )的最大值为1
2
C ．f (x )在(－π
4，0)单调递增
D ．f (x )在(0，π
4
)单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和
5，则该圆台的体积为 ．
14．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分
别为 ， ．
15．写出一个最小正周期为2的奇函数f (x )＝ ．
16．对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知
最后结果的误差εn ~N (0，2
n )，为使误差εn 在(－0，5，0.5)的概率不小于0.9545，至
少要测量 次（若X ~N (μ，σ2)，则P (|X －μ|＜2σ)＝0.9545）．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（10分）
已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ． （1）证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； （2）若a 1＝12，a 2＝3
2，求{a n }的通项公式．
18．（12分）
在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BD ＝CD ＝1．
（1）若AB ＝3
2
，求BC ；
（2）若AB ＝2BC ，求cos ∠BDC ． 19．（12分）
一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．
（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望．
20．（12分）
北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面 体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多 面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如： 正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π
3
，所以正四面体在各顶点的曲率为
2π－3×π
3
＝π，故其总曲率为4π．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数＋面数＝2， 证明：这类多面体的总曲率是常数． 21．（12分）
双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当
BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |．
（1）求C 的离心率；
（2）若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF ． 22．（12分）
已知函数f (x )＝e x －sin x －cos x ，g (x )＝e x ＋sin x ＋cos x ． （1）证明：当x ＞－5π
4时，f (x )≥0；
（2）若g (x )≥2＋ax ，求a ．
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