统筹优化问题
第十三讲    统筹优化问题
刚刚过完母亲节，马上就要迎来6月中旬的父亲节了！小朋友们，在这两个特别的节日里你送给爸爸妈妈什么礼物了？呵呵，我们来看看小芳给妈妈送上的母亲节礼物吧！
   
母亲节那天小芳爸爸、妈妈都加班了，小芳想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭，送上一份特别的礼物.她准备做大米饭、炒鸡蛋和水果沙拉.她估计了一下时间，洗米要3分钟，蒸大米饭20分钟，打鸡蛋要1分钟，洗炒锅勺要1分钟，炒菜要5分钟，做水果沙拉要10分钟.你知道聪明的小芳是怎样最合理的安排时间的吗？至少需要多长时间能做好这顿饭？父亲节的时候你能否也送上这样一份暖心的礼物？
答案提示：聪明的小朋友肯定不会一件一件接着做，那样会很浪费时间的！合理的安排：先洗米3分钟，蒸大米饭20分钟（在此同时我们还可以将：打鸡蛋要1分钟，洗炒锅勺要1分钟，炒
菜要5分钟，做水果沙拉要10分钟，共17分钟进行完），所以至少需要23分钟可将这份礼物准备完毕.
 
当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情.华罗庚教授在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章，详细介绍了统筹方法和指导意义.在实际生活中，我们科学的利用统筹安排的方法可以大大节省时间、人力、物力以及资源，提高做事的效率.
    类型Ⅰ：统筹安排事情
【例1】（2000年小数报数学邀请赛）（难度系数：★★）烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？ 
分析：【前铺】（奥数网备选题库）（难度系数：★★）用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？问煎1994个饼至少需要几分钟？
分析：如果只煎1个饼，显然需要2分钟；如果煎2个饼，仍然需要2分钟；如果煎3个饼，初学者看来认为至少需要4分钟：因为先煎2个饼要2分钟；再单独煎第3个饼，又需要2分，所以一共需要4分钟．但是，这不是最佳方案．最优方法应该是：首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼．
我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟，我们可以继续往下分析，煎4个饼最少需要4分钟，煎5个饼需要3＋2＝5分钟，煎6个饼需要6÷2×2＝6分钟，煎7个饼需要3＋4÷2×2＝7分钟，那么煎1993个饼至少需要1993分钟，煎1994个饼至少需要1994分钟.
原题解答; 先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，烙后21-
3=18块饼，至少用去18÷2×6=54(分钟)，所以一共需要54+9=63分钟.如果烙22块饼，我们就无需考虑的那么复杂了，所用时间就是22÷2×6=66分钟.
【例2】（06年国家公务员二类考卷）（难度系数：★★★）某商店汽水做促销活动，规定每5个空瓶能换1瓶汽水.小强家买了80瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？
分析：【前铺】（此题主要是让学生有兴趣把这个答案试出来，并明白可以借瓶的概念.）（03年国家公务员考试）（难度系数：★★）小新和他的五个朋友去喝汽水，他们身上有12元，每瓶汽水3元，每三个空汽水瓶可以换一瓶汽水，请问怎样才能每人喝到一瓶汽水？
分析：12元可以买4瓶汽水，用其中3个空瓶换1瓶汽水，加上剩下的1个空瓶，再向卖汽水的借一个空瓶，用这3个空瓶再换一瓶.喝完后再把这个空瓶还了！4+1+1＝6瓶.
原题解答：（法1）我们按照实际换汽水过程分析：
  喝掉80瓶汽水，用80个空瓶换回16瓶汽水；
  喝掉16瓶汽水，用16个空瓶换回3瓶汽水余1个空瓶；
  喝掉3瓶汽水，连上次余下的1个空瓶还剩4个空瓶.此时，再借1个空瓶，与剩下的4个空瓶一起又可换回1瓶汽水，喝完后将空瓶还了.
  所以，他们家前后最多能喝到汽水：80+16+3+1=100（瓶）.
  以上方法正确运用“5个空瓶可换1瓶汽水”这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用可就“吃亏了”！但如果一开始瓶数很多，那么这个换的过程就会很长.有没有简便的算法呢？
（法2）注意到“每5个空瓶可换一瓶汽水”（连汽水带瓶）这个条件，可知每4个空瓶就能换到一瓶汽水（不带瓶），那么喝剩的80个空瓶共能换到20瓶汽水，所以小强家前后共能喝到80+20=100（瓶）汽水.综合式是80+80÷（5-1）=100（瓶）.
（法3）每4个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即1个空瓶能换瓶汽水，那么买1瓶汽水实际能喝到（1+ ）瓶汽水，因此他家前后共能喝到80×（1+ ）=100瓶汽水.
【巩固】（07年希望六年级杯培训试题）（难度系数：★★★）学校师生1140人外出参观，
计划每人发2瓶汽水，每瓶汽水售价2元，商店规定每6个空汽水瓶可以换1瓶汽水，带队老师合理筹划，回收空瓶换汽水，使每人按计划喝到汽水，节省多少元？
分析：每6个空瓶就能换到1瓶汽水，即每5个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即1个空瓶能换瓶汽水，那么买一瓶汽水实际能喝到（1+）瓶汽水，因此需要买1140×2÷（1+）=1900（瓶）汽水. 节约出来1140×2-1900=380（瓶）汽水的钱，也就是380×2=760（元）.
【巩固】（全国小学奥林匹克）（难度系数：★★★）5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？
分析：，所以需要129瓶.
【例3】（03年全国小学奥林匹克）（难度系数：★★★★）某校六年级的80名同学与2名老师共82人去公园春游，学校只准备了180瓶汽水．总务主任向老师交代，每人供应3瓶汽水(包括老师)，不足部分可到公园里购买，回校后报销．到了公园，商店贴有告示：每5个空瓶可换一瓶汽水．于是要求大家喝完汽水后空瓶由老师统一退瓶．那么用最佳的方法筹划，至少还要购买多少瓶汽水回学校报销？
   
分析：带来的180瓶汽水可以喝到：（瓶），还需要由卖汽水产生的汽水有：82×3-225=21（瓶），21瓶实际需要购买：，所以还需要购买17瓶汽水回学校报销.
【例4】（奥数网习题库）（难度系数：★★★）有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示（图中单位是千米），现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？
 
分析：由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那么从县城到A1村要铺设10根细管，A1村到A2村要铺设9根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况．
  因为粗管每千米7000元，细管每千米2000元，所以4根细管的价钱将大于1根粗管的价钱．这样一来，凡是超过3几月几号是母亲节?根细管的路段，都应改铺粗管．
因此，从县城到A7村铺1根粗管，A7村到A8村铺3根细管，A8村到A9村铺2根细管，A9村到A10村铺1根细管．总费用为：7000×（30+5+2+4+2+3+2）+2000×（2×3+2×2+5×1）=366000（元）.
          类型Ⅱ：沙漠探险
 
【例5】（奥数网习题库）（难度系数：★★★★）（1）有5位探险家计划横穿沙漠.他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油。显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠。于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠。当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?
（2）如果允许将汽油留在途中供返回的汽车使用，上题其他条件都不变，那穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?
分析：（1）如右图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时第1辆车留下够自己返回A点的汽
油，剩下的汽油全部转给其余4辆车，注意，B点的最佳选择应满足刚好使这4辆车全部加满汽油；剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油；剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车.此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶315千米.
    以这种方式，第5辆车能走多远呢?我们来算算.
    5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶315千米的汽油分成6份，2份供自己往返AB，4份给另外4辆车每辆加l份，刚好使这4辆车都加满汽油.AB长为：315÷6=52.5(千米)；
    4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份（BC）汽油，再加上第2辆车从C经B返回A，所以第2辆车是把汽油分成：5份BC+1份AB=315（千米），由上可知6份AB=315（千米），所以AB=BC，也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份，3份供自己从B到C，再从C返回A，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是52．5千米.
    同理，CD=DE=52．5(千米).
    所以第5辆车最远能行驶52．5×4+315=525(千米).
    一般地，如果有n (n>1)辆相同的汽车，每辆车带的油都恰好够行驶s千米的路程，其它条件不变，那么第1辆车行驶千米返回，在最后一辆车“冲刺”之前，最后一辆车已行驶了（n-1）个千米，所以最后一辆车能行驶：
    这个问题解决的很完美.但是，这是基于汽油只能由汽车携带，不能留在途中供返回的汽车使用这个前提.如果允许将汽油留在途中供返回的汽车使用，情况就大不相同了.
   
（2）如右图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时，第l辆车给其它车辆加满汽油，并且在B处留下供3辆车从B返回A的汽油，然后自己返回A.注意，此时后4辆车都已加满了汽油，并且无“后顾之忧”，即有了从B返回A的汽油，所以后面的问题相当于有4辆车，让一辆车走的尽量远，另3辆车返回B.同理，
到C点时变成3辆车的情况，到D点时变成2辆车的情形，到E点时变成1辆车的情形.
【例6】（奥数网习题库）（难度系数：★★★★）甲乙两个人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，

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