2023届高考理科数学预测卷新课标全国I 卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i 为虚数单位，复数3
,i
1i z z =+为z 的共轭复数，则||z =() A.12
B.
22
C.
13
D.14
2.已知集合{}{}
22log (1)1,1M x
x N x x =-=∈>Z ∣∣ ，则M N =I ()A.(]
1,3 B.∅
C.{}
2,3 D.{}1,2,33.如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD 为圆柱的轴截面，从A 点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C 点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为(
)
A.2
B.2
C.2
D.2
4π
4.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(),2P m -到焦点的距离为4，则实数m 的值为()A.4
B.2
- C.4或4
- D.2或2
-5.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下：
加工零件数x /个2345加工时长/min
y 26
a
49
54
根据上表可得回归方程9.49.1y x =+$，则实数a 为()
A.37.3
B.38
C.39
D.39.5
6.已知曲线24ln 2y x x =-+的一条切线的斜率为7，则该切线的方程为（）
A.71
y x =+ B.71
y x =- C.72
y x =- D.73
y x =-7.函数πsin 212y x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭的最小值和最小正周期分别为(
)
A.1，2π
B.0，2π
C.1，π
D.0，π
8.
在5
6
1)1x y ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中，含4
2x y 项的系数为(
)
A.200
B.180
C.150
D.1209.已知ππ1,sin cos 225ααα-<<+=，则
221
cos sin αα
-的值为()
A.7
5
B.7
5
±
C.
257
D.257
±
10.已知在菱形ABCD
中，AB BD ==ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A BCD -
，且使得棱AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为(
)
A.7π
B.14π
C.28π
D.35π
11.对于圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(),P x y ，若点P 到直线1:3490l x y --=和直线2:340l x y a -+=的距离之和都与,x y 无关，则a 的取值范围是(
)
A.[6,)+∞
B.[4,6]-
C.(4,6)
- D.(,4]
-∞-12.已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43x
f x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，则
()()33log 6log 54f f -+=(
)
A.32
B.
33
log 22
- C.12
-
D.
32
log 23
+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知实数, x y 满足1,28,1,
y x x y x -⎧⎪
+⎨⎪⎩
，则
33x y x +++的最大值为____________.14.已知向量(2,),(1,2)m =-=a a b ，若//(2)+a a b ，则实数m =__________.
15.过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，
与双曲线的渐近线交于,C D 两点.若5为什么cf进不去
||||13
AB CD ≥，则该双曲线离心率的取值范围为
_____________.
16.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin ()(sin sin )2a b A c b C B ⎛
⎫-=+- ⎪⎝
⎭，则ABC V 面积的最大值是________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17.（12分）已知首项为3
2
的等比数列{}n a 的前n 项和为()
*n S n ∈N ，且2342,,4S S S -成等差数列.
(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：()*113
6
n n S n S +
≤∈N .18.（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面,ABC ABC 和1A AC 都是正三角形，D 是AB 的中点.
（1）求证：1BC 平面1A DC ；（2）求二面角11A DC C --的余弦值.
19.（12分）某县充分利用自身资源，大力发展种植业.该县农科所为了对比,A B 两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了,A B 两种茶叶各20亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：
A ：41.3，47.3，48.1，49.2，51.2，51.3，52.7，53.3，54.2，55.3，56.4，57.6，58.9，59.3，
59.6，59.7，60.6，60.7，61.1，62.2；
B ：46.3，48.2，48.3，48.9，49.2，50.1，50.2，50.3，50.7，51.5，52.3，52.5，52.6，52.7，
53.4，54.9，55.6，56.7，56.9，58.7.
(1)从,A B 两种茶叶亩产数据中各任取一个，求这两个数据都不低于55的概率.
(2)从B 品种茶叶的亩产数据中任取两个，记这两个数据中不低于55的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.
(3)根据以上数据，你认为该县应选择种植茶叶A 还是茶叶B ?说明理由.
20.（12分）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴长与焦距分别为方程2680x x -+=的两个
实数根.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于,A B 两点，F 是椭圆的左焦点，当ABF V 的面积最大时，求直线l 的斜率.
21.（12分）设函数1
(),()ln f x x g x t x x
=-=，其中(0,1),x t ∈为正实数.
(1)若()f x 的图象总在函数()g x 的图象的下方，求实数t 的取值范围；
(2)设()()221()ln 1e 11x H x x x x x ⎛⎫
=-++-- ⎪⎝
⎭，证明：对任意()0,1x ∈，都有()0H x >.
（二）选考题：共10分。请考生在第2223题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的参数方程为1,
3x t y t =-⎧⎨
=+⎩
（t 为参数）.（1）求l 的普通方程，说明C 是哪一种曲线；
（2）设,M N 分别为l 和C 上的动点，求||MN 的最小值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|21||3|()f x x x a a =+-+∈R .（1）若()f x 的最大值为5，求a ；
（2）若0a >，在（1）的条件下，求不等式|()|5f x >的解集.
答案以及解析
1.答案：B
解析：化简复数3
i i 11i 1i 1i 22z =
==-++-，则11i 22
z =--
，根据复数的模的定义，则||2z =.故选B.2.答案：C
解析：由2log (1)1,x -
可得012,x <- 解得13,x < 则3](1,M =，由21x >可得1x <-或1,x >又,x ∈Z 所以{2,3}M N =I ，故选C.
3.答案：A
解析：沿AD 将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中,A C 两点间的距离，连接AC ，则3πAC =，展开后AB 的长度为π.设圆柱的高为h ，则222AC AB h =+，即2229ππh =+
，得h =
，所以圆柱的侧面积为22π1⨯⨯⨯=.
4.答案：C
解析：由题可设抛物线的标准方程为22(0)x py p =->，由点P 到焦点的距离为4，得224,4,82
p
p x y +=∴=∴=-.将点(,2)P m -代入28x y =-，得4m =±.5.答案：C
解析：根据题意可得23452649541293.5,444
a a
x y +++++++====
，又回归直线过中心点()
x y ，所以1299.4 3.59.14
a
+=⨯+，解得39a =.6.答案：B
解析：设切点坐标为()00,x y ，则18y x x '=-
，故00
187x x -=，解得(00118x x ==-舍去），故0426y =+=，故所求切线方程为67(1)y x -=-，即71y x =-.7.答案：D
解析：π()sin 21,2f x x ⎛⎫=++∴ ⎪⎝⎭ 当πsin 212x ⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值，且min ()0f x =.
又其最小正周期2ππ2T ==，π()sin 212f x x ⎛
⎫∴=++ ⎪⎝
⎭的最小值和最小正周期分别是0，π.故
选D.8.答案：C
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