2014年湖南省高考数学理科试卷(有解析)
2014年湖南省高考数学理科试卷（有解析）
2014年湖南省高考数学理科试卷（有解析）
一.选择题.
1.满足（是虚数单位）的复数（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由题可得，故选B.
2.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（）
B.C.D.
3.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则
A.B.C.1D.3
的展开式中的系数是（）
B.C.5D.20
【答案】A
【解析】第项展开式为,
则时,，故选A.
已知命题在命题
①中，真命题是（）
A①③B.①④C.②③D.②④
执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的S属于（）
B.C.D.
一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径，则，故选B. 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这
两年生产总值的年平均增长率为()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】设两年的平均增长率为，则有，故选D.
已知函数且则函数的图象的一条对称轴是
A.B.C.D.
已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
二.填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.
(一)选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则
按前两题记分）
在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.
如图3，已知，是的两条弦，，，，则的半径等于________.
若关于的不等式的解集为，则________.
【答案】
【解析】由题可得，故填.
(二)必做题（14-16题）
14.若变量满足约束条件，且的最小值为，则
15.如图4，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则.
【答案】
【解析】因为在抛物线上，所以，故填.
16.在平面直角坐标系中，为原点，动点满足=1，则
的最大值是_________.
17.某企业甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品.设甲，乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品研发成功，预计企业可获得万元，若新产品研发成功，预计企
业可获得利润万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
所以的分布列如下:
则数学期望.
18.如图5，在平面四边形中,.
(1)求的值;
(2)若,，求的长.
19.如图6，四棱柱的所有棱长都相等,，四边形和四边形为矩形.
(1)证明：底面;湖南2014高考
(2)若，求二面角的余弦值.
底面.
(2)法1:：过作的垂线交于点，连接.不妨设四棱柱的边长为.
底面且底面面
面，从而两两垂直，如图以为坐标原点，所在直线分别为轴,
20.已知数列满足,.
(1)若为递增数列，且成等差数列，求的值;
(2)若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.
【答案】(1)(2)或
【解析】解:(1)因为数列为递增数列，所以，则，分别令可得，因为成等差数列，所以或,
当时，数列为常数数列不符合数列是递增数列，所以.
21.如图7，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右
焦点分别为，离心率为，已知，且.
(1)求的方程;
(2)过点作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值.
，因为在直线的两端，所以,
22.已知常数，函数.
(1)讨论在区间上的单调性;
(2)若存在两个极值点，且，求的取值范围.
(2)函数的定义域为，由(1)可得当时,，则

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