高考数列真题篇
1. 【2014高考北京理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2. 【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<
，则2a >
D ．若10a <，则()()21230a a a a -->
3. 【2016高考浙江理数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且
1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，
1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，
（P
Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）
A ．{}n S 是等差数列
B ．2
{}n
S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n
d 是等差数列
4. 【2016年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年
（B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 5【2015高考福建，理8】若,a b 是函数
()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适
当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
6. 【2016高考浙江理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *
，则a 1= ，S 5= .
7、【2016高考新课标1卷】设等比数列湖南2014高考
{}n a 满足a 1
+a 3
=10,a 2
+a 4
=5，则a 1a 2
…a n
的最大值为 ．
8、 【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*
N n ∈），则数列}1
{n
a 的前10项和为
9、【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列
{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．
10、【2014，安徽理12】数列{}n a 是等差数列，若1
351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________
11、【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .
11、【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的
最大整数，如
[][]0.9=0lg99=1，．
（Ⅰ）求111101b b b ，，； （Ⅱ）求数列
{}n b 的前1 000项和．
12、【2014高考广东卷.理.19】 (本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n
n +=--，n N *∈，
且3
15S =.
(1)求1a .2a .3a 的值； (2)求数列
{}n a 的通项公式.
13、【2016高考山东理数】已知数列
{}n
a 的前n 项和S n
=3n 2
+8n ，{}n
b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+
（Ⅰ）求数列
{}n
b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1).(2)n n n n
n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n
.
14、【 2014湖南20】已知数列{}n a 满足111,n n n
a a a p +=-=,*n N ∈.
(1)若
{}n a 为递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求P 的值;
(2)若
1
2
p =
，且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 15、【2015高考山东，理18】设数列
{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+.
（I ）求
{}n a 的通项公式；
（II ）若数列
{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .
16、【2016高考天津理数】已知
{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.
(Ⅰ)设22*
1,n
n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；
(Ⅱ)设
()22
*
11
,1,n
n
n n k a d T b n N
===-∈∑，求证：
2111.2n
k k
T d =<∑ 17、【2014山东.理19】已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令1
1
4(1)n n
n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18、【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 的前n 项和1n
n S a λ=+，其中0λ≠．
（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若5
31
32
S =
，求λ． 19、【2014新课标，理17】已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.
（Ⅰ）证明
{}
12n
a +是等比数列，并求
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）证明：
1231112
n a a a ++<…+.
20、【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1
{
}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000
n T -<；成立的n 的最小值. 21、【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2
n
n a a +=43n S +.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n
n n b a a +=
，求数列{n b }的前n 项和. 22、【2014课标Ⅰ，理17】 已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数，
（I ）证明：2
n n a a λ+-=；
（II ）是否存在λ，使得
{}n a 为等差数列？并说明理由.
23、【2015高考安徽，理18】设*
n N ∈，n x 是曲线
221n y x +=+在点(12)，处的切线及x 轴交点的横坐标.
（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记22
2
13
21n
n T x x x -=，证明1
4n
T n
≥. 24、已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ .
（Ⅰ）若232
2,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线22
21n y x a -= 的离心率为n e ，且25
3e = ，证明：121
433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.
25、【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足
212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且
233445,,a a a a a a 成等差数列.
(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；
(II)设*2221
log ,n
n
n a b n N a -=
∈，求数列n
b 的前n 项和.
26、已知等差数列{n a }的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2722,,a a a 成等比数列，
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
1
n
S }的前n 项和为n T ，求证：
1368
n T ≤<． 27、【天津市南开中学2015届高三第三次月考（理）试题】已知数列{}n a 的前n 项和11(
)22
n n n S a -=--+（n N *
∈），数列
{}n b 满足2n n n b a =.
（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ）设数列}1{n a n n +的前n 项和为n T ，证明：n N *
∈且3n ≥时，n T >521
n n +； （Ⅲ）设数列
{}n c 满足1(3)(1)n n n n a c n λ--=-⋅，
（λ为非零常数，n N *∈），问是否存在整数λ，使得对任意 n N *
∈，都有1n n c c +>
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